Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 10 )

Наоборот, если известны плотности свободных и связанных зарядов, то интегрированием можно вычислить потенциал по фор­муле (13.7), а затем найти и все остальные величины. Как правило, интеграл (13.7) не берется аналитически, но всегда может быть найден численно.

Реальные задачи, к которым приводит электростатика, гораздо сложнее. Дело в том, что связанные заряды, а также распределение свободного электричества по поверхности проводников не бывают известными, а сами подлежат определению.

Общая задача матема­тической электростатики формулируется следующим образом. В диэлектрической среде заданы расположение и форма всех проводников. Известна диэлектрическая проницаемость среды е между проводниками и объемная плотность с свободных электри­ческих зарядов во всех точках диэлектриков. Кроме того, известны: а) либо потенциалы всех проводников, б) либо заряды всех про­водников, в) либо заряды некоторых проводников и потенциалы остальных проводников. Требуется определить напряжен­ность электрического поля во всех точках пространства и распре­деление электричества по поверхностям проводников.

Задача сводится к нахождению потенциала ц, как функции пространственных координат x, у, z.

Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять эта функция. Для этого теорему Гаусса (10.5) запишем в виде div(еЕ) = 4рс и подставим в нее выражение для E из формулы (18.5). Получим

  div(еgradц) = - 4рс.  (14.1)

Если  диэлектрик однороден (е не зависит от координат), то

  divgradц = - 4рс/е  (14.2)

или в декартовых координатах

    (14.2a)

Введем так называемый оператор Лапласа или лапласиан:

    (14.3)

Тогда уравнение (14.2a) запишется в более кратком виде:

  ∆ц = - 4рс/е.  (14.4)

Это уравнение называется уравнением Пуассона. При отсутствии свободных зарядов (с = 0) оно переходит в уравнение Лапласа:

  ∆ц = 0.  (14.5)

Общая электростатическая задача сводится к нахождению ре­шения дифференциального уравнения (14.1), удовлетворяющего всем условиям, пе­ре­численным выше. Можно показать, что такая задача не может иметь более одного решения. Это – теорема единственности. Нахождение самого решения, вообще говоря, задача очень сложная. Аналитические решения известны лишь для немногих частных случаев. Однако если удалось уга­дать функцию ц, удовлетворяю­щую всем условиям задачи, то можно утве­рждать, что она и есть (единственное) решение задачи. В этом и состоит зна­чение теоремы единственности.

Метод изображений. Это искусственный метод, позво­ляющий в ряде случаев рассчи­тать электрическое поле достаточно просто. Рассмо­трим идею этого метода на самом простом примере, когда точечный заряд q находится около  плоскй поверхности AB про­водника.

Идея метода заключается в том, что мы должны най­ти другую задачу, которая решается просто и решение которой или часть его может быть использовано. В на­шем случае такой простой задачей является задача с двумя зарядами q и - q' (рис. 14.1). Поле этой системы известно (его экви­по­тенциалы и линии вектора Е показаны на рис. 14.1, б). Действительно, потенциал поля точечных зарядов q и q' в какой-либо точке C над поверх­ностью проводника будет

ц = q/r + q'/ r'.        (14.6)

Он обращается в нуль на плоскости AB если q' = - q, а потому эта плоскость является эквипотенциальной. Формула (14.6) и определяет потенциал поля в верхнем полупространстве. В нижнем полупространстве, заполненном проводящей средой, поле, разумеется, равно нулю. Таким образом, заряд q индуцирует на плоскости такие заряды, которые создают в верхнем полупространстве такое же поле, что и вспомогательный точечный заряд q' = - q. Отсюда следует, что индуцированные заряды притягивают за­ряд q с той же силой, что и вспомогательный заряд q', т. е. с силой F = q2/(2h)2, где h — расстояние между зарядом q и плоскостью АВ. В нижнем по­лу­пространстве индуцированные заряды компенсируют поле заряда q. Поверхностная плотность электричества найдется по формуле

Простое вычисление дает

                        .         (14.7)

Таким образом, в верхнем полу­пространстве граничные условия для потенциала оста­лись теми же, стало быть тем же oсталось и поле в этой области (рис. 14.1в)

Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисле­ния этого поля достаточно ввести фиктив­ный заряд q' – «изображение» – противоположный по знаку заряд, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд q. Фиктив­ный заряд q' создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуциро­ванные заряды на плоскос­ти. Именно это подразумевают, когда говорят, что фик­тивный заряд заменяет собой «действие» всех индуциро­ванных зарядов. Надо только иметь в виду, что «дей­ствие» фиктивного заряда распространяется лишь на то полупро­стра­нство, в котором находится действительный заряд q. В другом полупрост­ранстве поле отсутствует.

Резюмируя, можно сказать, что метод изображений по существу осно­ван на подгонке потенциала под гранич­ные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфи­гурацию зарядов), у которой конфигурация поля в инте­ресующей нас части пространства была бы той же. Если это удается сделать с помощью достаточно прос­тых конфигураций, то метод изображе­ний оказывается весьма эффективным.

Рассмотрим другой пример – точечный заряд вбли­зи проводящей сферы (рис.14.2). Допустим, что сфера S ра­диуса а заземлена, т. е. потенциал ее равен нулю. Величина точечного заряда q и его расстояние до центра сферы ОА заданы. Этими условиями решение электроста­ти­чес­кой задачи определяется однозначно. Поле внутри сферы по теореме Фарадея равно нулю. Найдем поле вне сферы. Выберем на прямой ОА такую точку С, чтобы треугольник ОВС был подобен треугольнику ОБА. Поместим в этой точке вспо­мога­тельный точечный заряд q'. Если b и b' – длины от­резков ВА и ВС, то потенциал зарядов q и q' в точке В будет (q/b + q'/b'). Он обратится в нуль, если

q' = - qb'/b = - qa/R.  (14.8)

Мы видим, что величина q' не зависит от положения точки В на сфере S. Следовательно, потенциал, создаваемый зарядами q и q', обращается в нуль во всех точках сферы S, т. е. q' является электри­ческим изображением заряда q в сфере S. Вне сферы на расстояниях r и r' от зарядов q и q' потенциал определяется выражением ц = q/r + q'/ r'.

Общий заряд, индуцированный на сфере S, равен по вели­чине и совпадает по знаку с зарядом qинд = q'.

Если потенциал сферы S равен ц0, то для решения задачи надо ввести еще один фиктивный заряд q0 = aц0, поместив его в центре О сферы. Поле во внешнем пространстве представится суперпозицней полей трех зарядов: q, q', q0. Действительно, потенциал за­рядов q и q' на сфере S равен нулю. Потенциал на S создается только зарядом q0, т. е. равен q0/а = ц0.

Заметим, наконец, что электрические заряды q и q' обладают свойст­вом взаимности. Оно заключается в следующем. Если q' является электри­ческим изображением заряда q, то, и обратно, заряд q является электричес­ким изображением заряда q'. Это за­мечание позволяет распространить изложенный метод на случай, когда точечный заряд внесен внутрь сфери­ческой полости, сделан­ной в проводящей среде.

§15. Емкость проводников и конденсаторов

1. Рассмотрим заряженный уединенный проводник, погружен­ный в неподвижный диэлектрик. Потенциал создаваемого им электрического поля на бесконечности условимся считать равным нулю. Если удвоить заряд проводника, то его потен­циал также удвоится.

Вообще, между зарядом проводника q и его потенциалом ц сущест­вует прямая пропорциональность:

  q = Сц.  (15.1)

Коэффициент C зависит только от размеров и формы про­во­д­­ника, а также от диэлектрической проницаемости окружаю­щего диэлект­рика и ее распределения в пространстве. Он назы­вается емкостью уединенного проводника. Например, для ша­ра радиуса a в однород­ном диэлектрике ц = q/еa, а потому

  С = еa.  (15.2)

2. Более важным является понятие емкости конденса­тора. Всякий конденсатор состоит из двух металлических обкладок, отделенных одна от другой слоем диэлектрика. Пусть обклад­ка­ми конденсатора являются две замкнутые металлические обо­лочки: наружная и внутренняя, причем внутренняя целиком окружена наружной. Тогда поле между обкладками совершенно не будет зависеть от внешних электрических полей. Заряды на поверхно­стях обкладок, обращенных одна к другой, по теореме Фарадея, равны по величине и противоположны по знаку. Практическая независи­мость внутреннего поля конденса­тора от внешнего поля здесь достигается тем, что обкладки рас­­полагаются очень близко одна от другой. В этом случае заряды будут почти целиком сосредоточены на внутренних поверхностях обкладок, т. е. поверхностях, обращенных друг к другу. Если q – заряд одной из обкладок (для определенности положительной), а ц1 - ц2 – разность потенциалов между обкладками, то