Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 35 )

Во-первых, к трем основным механическим величинам – длине, времени и массе – в системе СИ добавлена независимая четвертая, чисто электрическая величина, имеющая самостоятель­ную размерность. Такой величиной выбрана сила электрического тока, а ее единицей – ампер. Количество электричества есть вели­чина производная с единицей ампер-секунда, называемой кулоном.

Во-вторых, уравнения Максвелла в системе СИ записываются в так на­зываемой рационализированной форме, т. е. в форме, не содержащей никаких численных множителей. В интегральной форме эти уравнения имеют вид:

∮Hdℓ = ∫[ j + div(∂D/∂t)]dS,  ∮BdS = 0.

  ∮Edℓ = - ∫(∂B/∂t)dS,  ∮DdS = ∫сdV,  (64.1)

а в дифференциальной  форме -

rotH = j + ∂D/∂t, divB = 0,

  rot E = - ∂B/∂t, divD = с.  (64.2)

Идея «рационализации» уравнений Максвелла принадлежит Хэвисайду (1850 –1925). Хэвисайд исходил из того, что уравнения Максвелла – это фундаментальные уравнения, а потому целесооб­разно освободить их от численных множителей типа 4р. Для этого достаточно изменить величины единиц электрического заряда, а также напряженностей электрического и магнитного полей. Практической выгоды от такой рационализации нет. Исчезая из одних формул, численные коэффициенты появляются в других, так что общее число коэффициентов практически остается неизмен­ным.

«Рациона­лизация» в системе СИ идет дальше: опускается не только безраз­мерный коэффициент 4р, но и размерная величина – скорость света в вакууме с.

Уравнениями (64.1), (64.2) в системе СИ уже предопределены размерность и единицы векторов D и H, a именно:

[D] = Кл/м2 = A·c/м2,  [H] = А/м.

Связь с механикой устанавливается посредством силовых векторов E и В. Последние определяются соотношениями

Fe = qE,  Fm = q[vB],

где Fe и Fm – силы, действующие на заряд q в электрическом и магнитном полях. Отсюда получаем

[E] = Н/Кл = кг∙м/А·с3 = В/м,

[B] = Н·с/Кл·м = Н/А·м = кг/А·с2 = Вб/м2.

Единица индукции В называется тесла. Единицы E, D и H не получили специальных названий. В соответствии с размерностью их называют «вольт на метр», «кулон на квадратный метр» и «ампер на метр». Размерности всех четырех векторов E, D, B, H разные. Даже в вакууме векторы E и D, с одной стороны, В и H, с другой, в системе СИ – величины разные. В вакууме они связаны соотно­шениями

D = е0E,  B = м0H.

Величины е0, м0 называются электрической и магнитной пocтo­янными:

е0 = 8,854 10-12ф/м,  м0 = 1,256 10-6Гн/м. 

Сами постоянные е0 и м0 физического смысла не имеют, а являются размерными коэффициентами, искусствен­но введенными для перевода значений по существу одних и тех же величин (E и D, В и H в вакууме) из одних единиц в другие. Эти коэффициенты связаны соотношением

е0м0 = 1/c2,

где c – скорость света. Только комбинация е0м0 имеет реальный физический смысл.

В системе СИ электрическое поле точечного заряда q в вакууме определяется формулой

D = q/4��r2 или E = q/4��е0r2.

Поэтому закон Кулона в вакууме должен писаться так:

F = q1q2/4��е0r2.

Теорема о циркуляции для магнитного поля прямого тока в вакуу­ме дает

H = ℑ/2рr,  B = м0ℑ/2рr

Следовательно, для силы взаимодействия двух тонких параллель­ных проводов, по которым текут токи ℑ1 и ℑ2, получаем

F = м0 ℑ1ℑ2ℓ/2рr,

где ℓ – длина участка одного из проводов, к которому приложена сила.

Материальные уравнения в средах в системе СИ записываются в виде

D  =  е0еE,  B  =  м0мH,  j  =  лE.

Плотность энергии в системе СИ

w = Ѕ(ED + HB),

вектор Пойтинга:

П = [EH].

Связь векторов  D и поляризации P определяется выражением

D = е0E + P, где  P = е0бE,

где б – поляризуемость среды, связан с диэлектрической проницаемостью формулой е = 1 + б, откуда видно, что б в 4р раз больше чем в гауссовой системе.

Связь вектора H с вектором намагниченности I:

H = B/ м0 – I,  где  I = кH,

а магнитная восприимчивость к и магнитная проницаемость м связаны формулой м = 1 + к.

Для перевода формул из гауссовой системы в систему СИ и обратно можно пользоваться так называемыми переводными коэффициентами для каждой физической величины. После замены величины такой же величиной, умноженной на соответствующей переводной коэффициент, урав­нения и формулы гауссовой системы переходят в уравнения и формулы системы СИ и наоборот.        

Переводные коэффициенты

Физическая величина	Гауссова система	Система СИ
Скорость света	c	1/√е0м0
Напряженность и потенциал	E, ц	√4ре0 (E, ц)
Индукция электрического поля	D	√4р/е0D
Заряд, его плотность, ток, его сила, вектор поляризации	q, с, ℑ,j, P	1/√4ре0 (q, с, ℑ,j, P)
Магнитная индукция, магнитный поток	B, Ф	√4р/м0 (B, Ф)
Напряженность магнитного поля	H	√4рм0H
Магнитный момент, намагниченность	��,I	√м0/4р (��,I)
Электрическая и магнитная проницаемости	е, м	е, м
Электрическая поляризуемость и магнитная восприимчивость	б, к	(б, к)/4р
Удельная проводимость	л	л/4ре0
Сопротивление	R	4ре0R
Емкость	C	C/4ре0
Индуктивность	L	4рL/м0

З А Д А Ч И

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Электрическое поле в вакууме

Сопоставить силу кулоновского взаимодействия Fe двух электронов с силой их гравитационного взаимодей­ствия Fg. Вычислить ускорение a, сообщаемое одним элек­троном друго­му, находящемуся от первого на расстоянии r = l мм. Какую массу т'р должен был бы иметь протон для того, чтобы сила электростатического отталкивания двух протонов уравновеши­валась силой их гравитационного притяжения?   Какие заряды q⨀ и q⨁ (пропорциональные массам m⨀ и m⨁) нужно было бы сообщить Солнцу и Земле для того, чтобы сила кулонов­ско­го взаи­мо­действия между ними ока­залась равной силе гравитационного взаимо­действия? При каком одинаковом для Солнца и Земли удель­ном заряде q/m сила кулоновского взаимодействия между ними оказалась бы равной силе гравитационного взаимо­действия? Сравнить полученное значение q/m с удельным зарядом е/те электрона. В вершинах правильного шестиугольника со сторо­ной a помещаются точечные заряды одинаковой величины q. Найти потенциал ц и напряженность поля E в центре ше­стиугольника при условии, что: а) знак всех зарядов одинаков, б) знаки соседних зарядов  противопо­ло­жны. Найти потенциал ц и напряженность поля E в центре сферы радиуса R, заряженной однородной поверх­ностной плотностью ��. Заряд q=2мкКл распределен равномерно по объему шара радиу­са R = 40 мм. Найти потенциал ц и напряженность поля E в центре шара.   Найти потенциал ц и напряженность E поля в центре полусферы радиуса R, заряженной однородно с поверхностной плотностью у. Что представляют собой эквипотенциальные по­верхности одно­родного электрического поля? Напряжённость некоторого поля имеет вид E = - Еi, где E – константа. Написать выражение для потен­циала ц. Электростатическое поле имеет вид E = E1i+Е2j+Е3k, где E1,Е2, Е3 – константы. а) Является ли это поле однородным? б) Написать выраже­ние для ц. Напряженность некоторого электростатического поля опреде­ляется выражением: E = (a/r2)er, где а - константа. а) Является ли это поле однородным? б)  Найти потенциал этого поля ц(r). Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид:  ц = ц(x2+y2+z2). а) Что можно сказать о характере поля? б) Найти модуль E напряженности поля в точке x, у, z. Потенциал электростатического поля имеет вид: ц=ц(r, и), где r – расстояние от начала коор­динат, �� – полярный угол. а) Что можно сказать о характере поля? б)  Найти модуль E напряженности поля в точке r, ��. Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, имеет вид: �� = a(x2+y2)+bz2, где а и b - положительные константы. а) Найти напряженность поля E и ее модуль E. б) Какую форму имеют эквипо­тен­циальные поверхности? в) Какую форму имеют поверхности, для которых E=const? Потенциал электрического поля имеет вид: ��=a(x2+y2) –bz2, где а и b – по­ложительные константы. Ответить на вопросы предыдущей задачи. Найти потенциал ц и модуль E напряженности поля диполя как функции r и и (r - расстояние от центра диполя, и – угол между осью диполя и направлением от центра диполя к данной точке). Момент диполя равен р. Каким свойством обладает дипольный электрический момент p нейтральной системы зарядов? Какую работу A нужно совершить, чтобы повернуть диполь с моментом p из положения по полю E в положение против поля? Найти силу F взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на расстояние a = 10-8 м. Электрический дипольный момент молекулы воды p = 0,62·10-29 Кл·м. Дипольные моменты молекул считать расположенными вдоль соединяющей молекулы прямой. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины 2a заряжен с однородной плотностью ��. Для точек, лежащих на прямой, перпенди­кулярной к оси стержня и проходящей через его центр, найти модуль E напряженности поля как функцию рас­стояния r от центра стержня. Для стержня из предыдущей задачи найти потен­циал ц и модуль E напряженности поля в точках, лежащих на оси стержня вне его, как функцию расстояния r от центра стержня. Исследовать случай r≫a. Воспользовавшись ответом к задаче 1.22, получить выражение для модуля E(r) напряженности поля беско­нечной прямой нити, заряженной однородно с линейной плотностью ф (r – расстояние от оси нити). Проволочное кольцо радиуса r = 60мм равномерно заряжено зарядом q=20 нКл.

а) Найти потенциал ц и напряженность поля E на оси кольца как функцию x (на­чало оси x поместить в центр кольца).