Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 22 )

Правило Ленца. Формула (41.1) определяет не только величину, но и направление индукционного тока. Действительно, возьмем в магнитном поле замкнутый проволочный виток, положительное направление обхода которого составляет с направлением поля правовинтовую систему. Допустим, что магнитный поток Ф возрастает. Тогда, согласно формуле (41.1), величина ind будет отрицательна, а потому индукционный ток в витке потечет в отрицательном направлении. Такой ток, ослабляя внешнее магнитное поле, будет препятствовать возрастанию магнитного потока. Пусть теперь магнитный поток Ф убывает. Тогда величина ℰинд станет положительной, а индукционный ток в витке потечет в положительном направлении, и будет пре­пятствовать убыванию магнитного поля и магнитного потока. Таким образом, индукционный ток всегда имеет такое направление, что он ослабляет действие причины, возбуждающей этот ток. Это правило впервые было сформулировано Ленцем (1804 –1865) и носит его имя.

§42. Максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции

1. Когда проводник движется в постоянном магнитном поле, индук­ционный ток вызывается магнитной составляющей силы Лоренца ~q[vB]. Какая же сила возбуждает индукционный ток в неподвижном проводнике, находящемся в переменном магнитном поле? Ответ был дан Максвеллом. Он дал следующую формулировку закона электромагнитной ин­дукции. Всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Последнее и является причиной возникновения индукционного тока в контуре L проводника: 

  ∮Edℓ = - ,  (42.1)

где Ф – магнитный поток, пронизывающий контур L. Мы использовали для обозначения скорости изменения магнитного потока знак частной, а не полной производной. Этим мы хотим подчеркнуть, что контур L должен быть неподвижным.

Между максвелловым и фарадеевым пониманием явления электромаг­нит­ной индукции имеется существенное различие. Согласно Фарадею, элек­тромагнитная индукция состоит в возбуждении электрического тока. Для ее наблюдения необходимо наличие замкнутого проводника. Максвелл, напротив, видит сущность электромагнитной индукции прежде всего в возбуждении электрического поля, а не тока. Электромагнитная индукция может на­блю­даться и тогда, когда в пространстве вообще нет никаких проводников. Появление индукционного тока в замкнутом проводнике при внесении пос­ле­днего в переменное магнитное поле есть лишь одно из проявлений электрического поля Е, возникшего в результате изменения поля магнитного. Но поле Е может производить и другие действия, например, по­ляри­зо­вать диэлектрик, вызвать пробой конденсатора, ускорять и тормозить заряженные частицы и т. п.

Максвелловская формулировка закона индукции более общая, чем фор­мулировка Фарадея. Она принадлежит к числу наиболее важных обоб­щений электродинамики. Математически закон индукции в понимании Максвелла выражается формулой (42.1), где L – произвольный математический замк­ну­тый контур, который может быть проведен и в диэлектрике, а не обяза­тельно в проводнике, как было у Фарадея. Магнитный поток Ф определяется интегралом

  Ф = ∫BdS,  (42.2)

взятым по произвольной поверхности S, натянутой на контур L. Поэтому формулу (42.1) можно представить в виде

  ∮Edℓ =  (42.3)

Это уравнение имеет ту же математическую структуру, что и уравнение (34.2). Роль вектора 4рj играет вектор – ∂B/∂t. Поэтому оно может быть преобразовано в дифференциальную форму совершенно так же, как это было сделано с уравнением (34.2) (см. §35). В результате получится

rotE   (42.4)

Это – дифференциальная форма закона электромагнитной индукции. Урав­нение (42.3), или эквивалентное ему уравнение (42.4) – одно из основ­ных соотношений теории электромагнитного поля. Оно входит в систему уравнений Максвелла.

2. В электростатике источниками электрического поля являются непод­вижные электрические заряды. Для такого поля интеграл ∮ Edℓ обращается в нуль по любому замкнутому контуру. По этой причине одно только электро­статическое поле не может обеспечить непрерывное течение электричества вдоль замкнутых проводов. Напротив, электрическое поле, возбуждаемое магнитным полем, меняющимся во времени, – не потенциальное, а вихревое. Ротор такого поля и его циркуляция, вообще говоря, отличны от нуля. Благодаря этому вихревое поле, без каких бы то ни было добавочных сил, может вызвать непрерывное течение электричества по замкнутым проводам. Это течение и наблюдается в виде индукционных токов.

3. Теорема о сохранении магнитного потока. Допустим, что виток с током находится в произвольном магнитном поле – постоянном или переменном. Пусть он движется и деформируется произвольным образом. При этом в витке возбуждается индукционный ток

ℑ = ind/R = - (1/cR) dЦ/dt.

Если омическое сопротивление R равно нулю, то должно быть ℇind = 0 (так как в противном случае в проводнике возникли бы бесконечно большие токи, что физически невозможно). Значит, должно быть dЦ/dt = О, а потому Ф = const. Таким образом, при движении идеально проводящего замкнутого провода в магнитном поле остается постоянным магнитный поток, пронизы­ваю­щий кон­тур провода. Это положение называется теоремой о сохранении магнитного потока. Такое сохранение обусловлено индукционными токами, которые, согласно правилу Ленца, препятствуют всякому изменению магнитного потока через контур провода. Магнитный поток, обусловленный внешним магнитным полем, не остается постоянным. Магнитный поток, создаваемый индукционными токами, также меняется во времени. Однако сумма этих двух потоков остается постоянной. Представим себе теперь идеально проводящую жидкость, движущуюся в магнитном поле. Выделим в ней произвольный жидкий замкнутый контур, т. е. контур, движущийся вместе с частицами самой жидкости. Такой контур может играть роль идеально проводящего провода, и к нему применима теорема о сохранении магнитного потока. Из нее следует, что при любых движениях идеально проводящей жидкости магнитный поток, пронизывающий всякий замкнутый жидкий контур, не меняется во времени. Идеально проводящая жидкость может свободно течь вдоль магнитных силовых трубок. Но всякое движение ее поперек магнитного поля увлекает и эти силовые трубки. Явление происходит так, как если бы магнитные силовые линии были вморожены в вещество и двигались вместе с ним. Такое представление о вмороженности магнитных силовых линий широко применяется в магнитной гидродинамике при рассмо­тре­нии движений жидкостей, обладающих высокой электропро­во­дностью. Оно применяется также в астрофизике и физике горячей плазмы, поскольку последняя также обладает высокой электропро­водностью.

§43. Индуктивность проводов. Явления при замыкании

и размыкании тока

1. Рассмотрим тонкий замкнутый провод, по которому течет постоянный ток ℑ (рис. 43.1). Пусть В – магнитное поле этого тока. Внутри провода параллельно его оси проведем произволь­ный замкнутый математический контур и установим на нем поло­житель­ное направление. Пусть Ф –магнитный поток вектора В через этот контур. Если в пространстве нет ферро­маг­нит­ных тел, то В и, следовательно, Ф будут пропорциональны току:

  Ф = (L/с)ℑ.  (43.1)

Здесь коэффициент L не зависит от силы тока. Он определяется только размерами и конфигурацией самого провода и называется индуктивностью этого провода. Его называют также самоиндукцией или коэффициентом самоиндукции провода. Чем тоньше провод, тем при прочих равных условиях больше его индуктивность.

2. Для примера вычислим индуктивность соленоида, пренебре­гая при этом краевыми эффектами. Пусть ℓ – длина соленоида, N – общее число витков, S – площадь одного витка. Индукция магнитного поля внутри соле­ноида

B = 4рℑмN/сℓ.

Магнитный поток через один виток равен BS, а через N витков BSN:

Ф = 4рℑмSN2/сℓ.

Сравнивая эту формулу с формулой (43.1), получим

  L = 4рмSN2/ℓ.  (43.2)

3. За единицу магнитного потока в гауссовой системе единиц и в системе CGSM принимают максвелл. Максвелл есть магнитный поток, создаваемый магнитным полем в один гаусс через перпенди­кулярную к нему площадку в один квадратный сантиметр. Как следует из закона Био-Савара

dB = ℑ[dℓr]/сr3,

магнитный поток имеет размерность величины ℑℓ/c. Учитывая это, из формулы (43.1) находим, что в гауссовой системе и CGSM коэффи­циент самоиндукции имеет размерность длины. Его единица в этих системах называет­ся сантиметром. Сантиметр есть индуктивность такого витка, в кото­ром ток силою в одну CGSM-единицу создает магнитный поток в один мак­свелл. Формула (43.2) дает индуктив­ность соленоида в сантиметрах.

В практических единицах (вольт, ампер, Ом и т. д.) закон электромаг­нит­ной индукции и формулу (43.1) записывают в виде

  ind = - dФ/dt,  (43.3)

  Ф = Lℑ.  (43.4)

Практической единицей магнитного потока является вебер. Эта едини­ца определяется условием, чтобы при скорости изменения магнитного потока в 1Вб/с в контуре возбужда­лась электродвижущая сила в один вольт: Bб = l08 Мкс.

Практической единицей индуктивности является генри (Гн). Это есть инду­к­тивность такого провода, в котором при силе тока в один ампер возбуждается магнитный поток в один вебер: