Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 5 )

Когда радиус шара пре­небрежимо мал по сравнению с рас­сто­янием r, мы получа­ем кулонов  поле точечного за­ряда. Не­ль­зя, однако, сказать, что закон Кулона является следствием тео­ремы Гаусса. Он получается из нее при дополни­тельном предположении, что поле неподвижного точечного заряда ра­диа­льно и обладает сферической симметрией.

Совершенно так же вычисляется поле внутри шара (рис. 4.3б). Оно определяется выражением

Е = q'/r2,

где q' – заряд, ограниченный сферой радиуса r. Если заряд рав­но­­мерно распределен по объему шара, то q' = q(r/a)3. Тогда

  E = qr/a3 = (4р/3) сr.  (4.4)

Если же заряд равномерно распределен по поверхности шара, то q′ = 0, а потому также E = 0. Таким образом, элек­три­ческое поле внутри сфе­ри­че­с­кой полости, равномерно заряженной по поверхности, равно нулю. Результат остается спра­ведливым и для случая, когда внутри сферической полости зарядов нет, а внешние заряды распределены сферически сим­ме­трично.

4. Поле заряженной линии и бесконечно длинного цилин­дра. Поле тако­го распределения заряда направлено радиально – к линии, или от нее, в за­ви­симости от знака заряда. Его вели­чина на расстоянии r от линии опре­де­ляется формулой

  Е = 2ф/r,  (4.5a)

где ф – линейная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на единицу дли­ны линии. Той же формулой определяется поле бе­с­конечно длинного кру­­гового цилиндра, равномерно заря­жен­­ного по объему или по поверхно­сти, если точка наблюдения нахо­дится вне цилиндра. Если цилиндр полый и равномерно заряжен по поверхности, то поле внутри него равно нулю. Если же цилиндр равномерно заряжен по объему, то

  Е = 2рсr.  (4.5b)

5. Поле двух параллельных разноименно заряженных плос­костей. Если плотности зарядов на обеих плоскостях равны, то будут одинаковы, но противополож­но направ­лены и создаваемые ими поля. Ме­жду плоскостями напра­вления полей сов­падают, и при их сложении получается поле

  E = 4ру.  (4.6)

Во внешнем пространстве поле равно нулю.

6. Сила, действующая на заряженную поверхность. Рассмотрим заря­жен­ную поверхность S произвольной формы (рис. 4.4). Полупространство по одну сто­ро­ну этой поверхности обозначим индексом 1, а по другую – индексом 2. Поверх­но­ст­ная плотность заряда у может меняться вдоль по­верхности S произвольно. Возьмем бесконечно ма­лый цилиндр, основания которого распо­ло­жены по разные стороны от S. Высота цилиндра беско­неч­но мала по сравнению с линейными раз­ме­ра­ми его оснований. Если площадь основания ∆S, то внутри цилиндра находится заряд q = у∆S. Сумма потоков вектора E через основания цилиндра есть (En1 + En2) ∆S, а через боковую поверхность – пренебрежимо мал. С помо­щью тео­ре­мы Гаусса получаем

En1 + En2 = 4ру.  (4.7)

Формуле (4.7) можно придать иной вид, проведя к по­верх­ности  S един­ую нор­маль n. Направим ее от полупро­ст­ра­нства 1 к 2. Тогда

E2n – E1n = 4ру.  (4.8)

Таким образом, при переходе через заряженную по­верх­­ность нор­маль­ная составляющая вектора E претер­певает раз­рыв, равный 4ру. Происхождение скачка нор­мальной состав­ляю­щей вектора E полезно уяснить с другой точки зрения. Полное электрическое поле в любой точке пространства скла­дывается из внутреннего поля Ein, т. e. поля, создаваемого заря­дами самой площадки ∆S, и внешнего поля Eext, т. е. поля, возбуждаемого всеми остальными зарядами. При пересечении площадки ∆S внешнее поле меняется непрерывно. Сама же пло­щадка на бесконечно близких расстоя­ниях от нее ведет себя как беско­нечная заряженная плоскость. Создавае­мое ею поле Ein нормально к пло­щадке и равно 2ру. Однако направления этого поля по раз­ные стороны пло­щад­ки противо­положны. По одну сторону оно увеличивает, а по другую уменьшает нор­маль­ную составляющую полного поля, т. е.

E1 = Eext - 2руn,  Е2 = Eext + 2руn.  (4.9)

Итак, скачок претерпевает только внутреннее по­ле, тогда как внешнее меняется непрерывно. Так как внут­рен­нее поле не имеет тангенциальной со­с­та­в­ляющей, то тангенциаль­ная составляющая полного поля меняется также непрерывно:

  E1t = E2t.  (4.10)

Из формул (4.9) получаем также

  Eext = (E1 + E2)/2.  (4.11)

Пользуясь этим выражением, легко рассчитать электрические силы, действующие на заряженную поверхность. На пло­щадку ∆S, очевидно, могут действовать только внешние заря­ды, а не заряды самой площадки. Электрическая сила, отнесен­ная к единице площади площадки ∆S, будет

  f  = уEext = у (E1 + E2)/2.  (4.12)

Исключив �� с помощью формулы (4.8), преобразуем этот ре­зультат к виду

  .  (4.13)

В частности, если поле нормально к заряженной поверх­ности, то

    (4.14)

Отсюда видно, что на единицу площади заряженной поверхности действуют силы натяжения E22 /(8��) и E12 /(8��), которые тянут ее на­ружу в противоположных направлениях.

§5. Дифференциальная форма теоремы Гаусса

1. Соотношение (3.5) есть теорема Гаусса в инте­граль­­ной фор­ме. Придадим этой теореме дифферен­циальную фор­му.

Пусть распределение заряда непрерывное с объемной плотностью с. Тогда заряд в элементе объе­ма dV представится выраже­нием dq = сdV.

Возьмем в пространстве бесконечно малый прямо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед со сторонами dx, dy, dz, парал­лель­ными коор­динат­ным осям прямоугольной системы коор­динат (рис. 5.1). На левой гра­ни внешняя нормаль на­прав­лена в отрицательную сторону оси X. Поэтому поток вектора E через эту грань будет - Ex(x)dydz, а на противоположной грани: Ex(x+dx) dydz. Сумма обоих потоков будет

Ex(x+dx) – Ex(x)]dzdy = (∂Ex/∂x)dV,

где dV = dxdydz – объем па­раллелепипеда. Аналогично полу­чим потоки через две пары остальных граней. Полный поток через поверхность па­рал­ле­лепипеда будет

  dФ = divE·dV,  (5.1)

где введено обозначение

  ,  (5.2)

называемое дивергенцией вектора Е. По теореме Гаусса этот поток  равен 4рdq = 4рсdV, т. е.

  div E = 4рс.  (5.3)

Эта формула выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме. Интегральная и дифференциальная формы теоремы Гаусса полностью эквивалентны.

3. В электростатике теорема Гаусса является не более как одним из следствий закона Кулона. Но мы не можем ограничиться элек­тро­статикой. Наша задача значительно шире. Мы должны путем обобще­ния опытных фактов отыскать общие уравнения и законы, примени­мые не только в электро­ста­тике, но и во всей электродинамике. Для этого следует тре­бовать, чтобы они были законами теории поля, исключающими мгновенное действие на расстоянии. Закон Кулона этому тре­бованию не удовлетворяет. Он может быть справедлив толь­ко в электростатике. Однако следствия, вы­во­­ди­мые из него, могут иметь и более широкую область применимости. К чис­лу таких следствий и относится теорема Гаусса. Записанная в диффе­рен­циальной форме, теорема Гаусса не содержит на­ме­ков на дально­дейст­вующий харак­тер сил. Она является локаль­ной теоремой, т. е. связывает раз­лич­ные физические величины (с и div Е) в одной и той  же точке простран­ства. С другой сто­ро­ны, закон Кулона только достаточен, но не необходим для доказательства теоремы Гаусса. Поэтому естественно ввести гипотезу, что теорема Гаусса верна не только в электростатике, но и в электроди­на­мике, имеющей дело с переменными во времени электромагнитными поля­ми. Верна эта гипотеза или нет – на этот вопрос может дать ответ только опыт.

§6. Теорема Ирншоу

Для механического равновесия системы точечных элек­три­­ческих заря­дов необходимо и достаточно, чтобы сила, действующая на каждый заряд, обращалась в нуль. Примером мо­жет служить система двух одина­ко­вых точечных зарядов, в центре которых помещен заряд противополож­ного зна­ка - q/4 (рис. 6.1). На вопрос об устойчивости такого равно­весия дает ответ теорема Ирншоу. Согласно этой теореме вся­кая ра­в­но­весная конфигурация покоя­щихся точеч­ных элек­три­ческих зарядов неустой­чи­ва, если на них, кро­ме кулоновских сил, никакие другие силы не действуют.

Теорема Ирншоу является следствием теоремы Гаусса. До­пу­стим, что какая-то система неподвиж­ных точечных заря­дов нахо­дится в устойчивом рав­но­весии. Рассмотрим произвольный заряд q этой сис­темы, на­хо­дя­щийся в равновесии в положении A (рис. 6.2). Предположим для определен­нос­ти, что за­ряд q положителен. Если заряд q смес­тится в бес­ко­нечно близкую точку A', то ввиду пред­положенной устой­чи­во­сти равно­ве­сия должна возникнуть сила, направленная к точке A и стремящаяся вер­нуть заряд снова в ту же точку. Пусть E – электрическое поле, создаваемое все­ми заря­дами, за исключением заряда q. В точке A' оно должно быть на­правлено к A, каково бы не было направление сме­ще­ния AA'. Окружим заряд q произвольной замкнутой поверх­ностью S и при­том такой, чтобы все прочие заряды были расположены вне этой поверхности. На поверх­ности S поле E направлено к точке A, а потому поток вектора E через поверх­ность S отрицателен. Но, согласно теореме Гаусса, этот поток должен равняться ну­лю, поскольку он создается заря­дами, расположен­ными вне S. Получив­ше­еся противоречие и доказывает теорему Ирншоу.