Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 17 )

§30. Закон Био-Савара

Получим теперь закон, определяющий магнитное поле отдельного эле­мента тока. Как и в электростатике, будем исхо­дить из принципа супер­позиции как обобщения опытных фактов. Со­гласно этому принципу, магнит­ные поля отдельных движущихся зарядов векторно складываются, причем каждый заряд возбуждает поле, совершенно не зависящее от наличия дру­гих зарядов. С исполь­зованием формулы (30.2) принцип су­пер­позиции приводит к сле­дующему выражению для магнит­ного поля, объемного элемента тока:

    (30.1)

Аналогично для линейного элемента тока jdV = ℑdℓ:

    (30.2)

Эти формулы выражают так называемый закон Био (1774 –1862) и Савара (1791–1471). Полное поле найдется интегрированием выражений (30.1) и (30.2) по всем токам, т. е.

    или  B = ∮.  (30.3)

Оба эти выражения применимы лишь для постоянных токов, a постоянные токи всегда замкнуты.

Из формул (29.4) и (29.5) следует, что параллельные токи должны притягиваться, а антипараллельные – отталкиваться. Де­мон­стра­ция этого прави­ла удается без труда. Подвесим за один конец спираль из мягкой проволоки. Если по спирали пропустить электрический ток, то в резуль­та­те притяжения параллельных токов, текущих по виткам спирали, она укоро­тится. Небольшим изменением опыта можно воз­будить в спи­рали колеба­ния. Берется спи­раль, состоящая из несколь­ких десятков вит­ков легкой, например алюминиевой, прово­локи. Верхний конец спирали закреп­лен в токопроводящем контакте A (рис. 30.1), ниж­ний опущен в чашечку с ртутью. При пропускании тока спираль укора­чива­ется и цепь размы­кается. Ток прекращается – спираль начинеат удлиняться. Когда нижний конец по­грузится в ртуть и замкнет цепь, спи­раль снова начнет уко­ра­чи­ваться и т. д. В результате возникнут колебания, со­прово­ждаю­щиеся периодическими уд­лине­ниями и укорочениями спирали.

§31. Расчет магнитных полей с помощью закона Био-Савара. Системы единиц

1. Поле прямого провода с постоянным током ℑ (рис. 31.1). Подво­дя­щие провода должны быть расположены настолько далеко, чтобы их магнит­ными полями в рассматриваемой области пространства можно было пол­ностью пренебречь. Тогда про­вод может считаться бесконечно длин­ным. Магнитное поле элемента тока ℑdℓ дается выражением (30.2), или

где dℓ⊥ – составляющая вектора dℓ, перпендикулярная к r. Маг­нитные силовые линии будут окружностями, центры которых рас­положены на оси провода. В скалярной форме:

где dб – угол, под которым вектор dℓ виден из точки наблю­дения. Введя расстояние до провода R = r cosб, получим dB = ℑ cos б dб/(cR). Интегрирование этого выражения от б = - р/2 до + р/2 дает искомый результат:

  B = 2ℑ/cR.  (31.1)

Теперь нетрудно рассчитать взаимодействие двух беско­неч­но длинных параллельных постоянных токов ℑ1 и ℑ2. Первый ток в месте нахождения второго создает магнитное поле В1 = 2ℑ1/(cR), где R – расстояние между токами. Это поле действует на участок второго тока длины ℓ с силой F = ℑ2ℓB1/c, или

  F = 2 ℑ1ℑ2ℓ/Rc2.  (31.2)

Измерив F, можно по этой формуле вычислить численное зна­чение электродинамической постоянной с. Впервые эта постоянная была измерена несколько иным путем В. Вебером (1804 –1891) и Р. Кольраушем (1809 –1858) в 1856г. Они нашли поразительный результат, что в преде­лах ошибок измерений величина c сов­падает со скоростью света в вакууме. Последую­щие измерения других ученых не оставили никаких сомнений в том, что электродинамическая постоянная и скорость света в вакууме  это одна и та же физическая постоянная. Тео­ретические исследования Максвелла по­казали, что этот фундаментальный ре­зультат является выражением электро­магнитной природы света.

2. Системы единиц. Знание численного значения c открывает возмож­ность рационального построения системы единиц в учении об электрических и магнитных полях. Перепишем основные формулы (26.1) и (29.2) без множителя c:

  F = qm[vB],  (31.3)

  B = qm[vr]/r3.  (31.4)

Тем самым вводятся новые единицы заряда (и тока) – в c раз больше соответствующих электростатических единиц и отличающиеся от них размерностью. На них основана так называемая магнитная система CGSM. Десятая доля CGSMq единицы заряда называется кулоном, а силы тока – ампером. Это – точные определения кулона и ампера.

Теперь можно дать определение единицы индукции маг­нитного поля, которая называется гауссом. Допустим, что векторы v и B взаимно перпендикулярны и что  qm = 1CGSМq, v = 1 см/с, В = 1 Гс. Тогда формула (31.3) да­ет F = 1дин. Это приводит к следующему определению. Гаусс есть напря­женность такого магнитного поля, которое действует на заряд в одну CGSMq с силой в одну дину, если заряд движется перпендикулярно к маг­нит­ному полю со скоростью 1 см/с. Легко переформу­лировать это опре­де­ление, используя вместо единицы электричес­кого заряда единицу элек­трического тока. Для получения конкрет­ного представления о гауссе заме­тим, что напряженность земного магнитного поля меняется прибли­зительно от 0,4 Гс (на экваторе) до 0,7 Гс (на полюсе).

Система CGSE применяется только для измерения чисто элек­три­че­ских величин: заряда, напряженности и индукции электри­ческого поля, эле­ктри­ческого потенциала, емкости, элек­тродвижущей силы, электро­про­вод­ности, электрического сопротивления и пр. Система CGSM применяется лишь для измерения чисто магнитных величин: напря­жен­ности H и индукции B, магнитного потока, коэффициентов само - и взаимоиндукции, магнит­ных моментов, вектора намагничивания и пр. Каждая из этих систем никогда не используется как единая система для измерения всех электри­ческих и маг­нитных величин. Гауссова система, кото­рой мы пользуемся, является ком­бинированной. Единицы чисто элек­три­ческих величин в ней совпадают с единицами CGSE, а чисто магнитных величин – с единицами CGSM.

3. Поле кругового тока на его оси (рис. 31.2). Элемент тока ℑdℓ воз­буждает магнитное поле dB, перпендикулярное к радиус-вектору r. Разло­жим это поле на две – осевую – dВz, и радиальную – dBr, составляющие. При интегрировании по контуру кругового тока радиаль­ные компоненты взаимно уничто­жают­ся. Результирующее поле будет направле­но вдоль оси Z, и надо интегрировать только осевую со­ставляю­щую

Угол б один и тот же для всех точек кругового тока. Интегрирова­ние сводится к простому умножению на длину контура 2рa. Таким образом,

    (31.5)

В точках, не лежащих на оси, выражение для поля кругового тока имеет сложный вид.

4. Иногда удобно вводить в рассмотрение поверхностные токи, т. е. то­ки, текущие по тонким поверхностным слоям тел. Проведем на обтекаемой током поверхности линию, перпендикулярную к нап­равлению тока. Ток, при­хо­дящийся на единицу длины такой ли­нии (заряд, протекающий через длину в 1 см за 1 сек), называется линейной плот­ностью тока и рассма­три­вается как вектор i, направленный вдоль тока. За положительное направ­ление обхода вокруг тока принимается направление вращения ручки правого буравчика, ориентированного по току, если при таком вращении буравчик ввинчивается в направление тока.

Пусть по площадке dS (рис. 31.3) течет пос­тоянный поверхност­ный ток с линейной плот­ностью i. Площадку с током можно рас­сматривать как поверхностный элемент тока  i dS,  создаю­щий  магнитное поле

.

Вектор dB перпендикулярен к току i. Его можно разложить на состав­ляющую dBф, касательную к площадке dS, и на составляющую dBn, перпен­дикулярную к ней. Найдем составляющую dBф. Единичный вектор ф распо­ложим в пло­скости площадки dS, ориентируя его в положительном напра­в­лении обхода перпендикулярно к току i,  как указано на рис. 31.3. Единич­ный вектор нормали n можно направить произвольно. Очевидно,

где – единичный вектор в направлении тока i. Так как то

  ,  (31.6)

где dЩ - телесный угол, под которым из точки наблюдения A видна внутренняя сторона площадки dS.