Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 25 )

Момент сил, действующих на электрон, M = - reE = (e/2рc)dЦ/dt. На основании уравнения моментов

mr2dЩ/dt = M = (e/2рc)dЦ/dt.

В начальный момент В = Щ = 0. Поэтому, интегрируя предыдущее уравнение, получим

mr2Щ = eЦ/2рc

откуда Щ = еB/2mс. Если изменение магнитного поля прекратится, то прекратится и дальнейшее изменение угловой скорости вращения атома. Последний будет продолжать вращаться постоянной угловой скоростью, определяемой формулой Лармора (47.1). Из изложенного видно, что ларморовское вращение есть одно из проявлений электромагнитной индукции. То обстоятельство, что электромагнитная индукция должна приводить именно к диамагнетизму, а не к парамагнетизму, проще всего понять, руководствуясь принципом Ленца. Действительно, в соответствии с этим принципом магнитное поле Bинд, возбуждаемое ларморовским вращением электронов, должно иметь такое направление, чтобы препятствовать всяким изменениям внешнего приложенного поля В.

Поэтому поле Bинд, а с ним и вектор намагничивания среды I должны иметь направление, противоположное направлению внешнего поля B. Явление электромагнитной индукции имеет место во всех средах. Поэтому и обусловленный им диамагнетизм есть универсальное явление, которое дол­ж­но проявляться во всех средах. Однако в тех случаях, когда атомы обладают собственными магнитными моментами, диамагнитный эффект перекрывается значительно более сильным парамагнитным эффектом.

§48. Объяснение парамагнетизма

1.        Парамагнетизм наблюдается у тех веществ, атомы которых обладают магнитными моментами уже в отсутствие внешнего магнитного поля. Пока нет магнитного поля, атомы совершают беспорядочное тепловое движение, а их магнитные моменты ориентированы в пространстве также беспорядочно. В этом случае тело не намагничено. В магнитном поле магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно в направлении поля. Появляется намагничивание и обусловленный им парамагнетизм.

Излагаемая ниже теория парамагнетизма относится к парамагнитным газам, взаимодействие между атомами которых слабое.

Качественно результаты этой теории применимы также к твердым и жидким парамагнетикам, электронные оболочки атомов или ионов которых могут более или менее свободно вращаться вокруг атомных ядер. Это имеет место, например, тогда, когда электронные оболочки обладают сферической симметрией. Таковы электронные оболочки атомов благородных газов или ионов с таким же числом электронов, как у благородных газов.

2.        Поместим изолированный атом в постоянное магнитное поле В. Отвлечемся от наличия спинов, предполагая, что все спины электронной оболочки скомпенсированы. Пусть v – скорость какого-либо электрона атома до внесения в магнитное поле. Тогда, согласно теореме Лармора, в магнитном поле скорость того же электрона будет v + [Щr], а его кинетическая энергия m(v + [Щr])2/2, где Щ – ларморовская частота. Если пренебречь квадратами ве­личины Щ, то для приращения кинетической энергии электрона можно написать mv[Щr]) или Щm[rv]. Просуммировав по всем электронам оболочки, на­ходим приращение кинетической энергии атома в магнитном поле: ℰ = (ЩL), где L – момент количества движения электронной оболочки. С помощью формул (46.1) и (47.1) это выражение приводится к виду

  ℰ = – (��B).                         (48.1)

Как видно из формулы (48.1), энергия атома больше, если его магнитный мо­мент ориентирован против магнитного поля, и меньше, если он ориентирован по полю. Поэтому в состоянии статистического равновесия больше магнитных моментов будет ориентировано по полю, чем в противоположном направлении, т. е. будет наблюдаться парамагнетизм. При условии

  (��B)/kT ≪1,                         (48.2)

классическая теория магнетизма дает

  I = nB��2/3kT.                         (48.3)

Отсюда, используя соотношения I = кН, В = (1 + 4рк) H, получим

  ��2.                 (48.4)

Этой формулой и определяется магнитная восприимчивость парамагнетика. Впрочем, магнитная восприимчивость неферромагнитных тел настолько мала, что в предыдущей формуле, как это обычно делается, величиной 4рк можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда

  ��2.                 (48.5)

3. Обобщение формулы (48.3) и (48.5) на случай сильных магнитных полей или низких температур, когда условие (48.2) не соблюдается было сделано также Ланжевеном. Однако в классической теории Ланжевена не учитывается квантование магнитных моментов атомов, что существенно в области низких температур. Для учета квантования надо считать магнитный момент атома �� кратным магнетону Бора ��В и принять во внимание все ориентации его, допускаемые правилами квантования. Примем, что магнит­ный момент атома �� спиновый и равен одному магнетону Бора.

В этом случае в магнитном поле возможны только две ориентации атома: параллельная и антипараллельная. В параллельной ориентации проекция магнитного момента на направление магнитного поля равна +��В, в антипараллельной2 -��В. Этим ориентациям соответствуют энергии -��В и +��В. Согласно распределению Больцмана числа атомов (в единице объема) с параллельной и антнпараллельной ориентациями будут равны соответственно

n1 = Сеx,  n2 = Се-х,         (48.6)

где введено обозначение

x = ��В/kT.

Нормировочная постоянная С определится из условия n1 + n2 = n, где n – полное число атомов в единице объема. Это дает C (eх + e-х) = n. Для намагничивания получаем I = (n1 - n2) ��, откуда

I = n�� thx.                         (48.7)

4. Прежде чем исследовать полученную формулу, заметим, что в случае, когда магнитный момент атома больше одного магнетона Бора, расчет проводится по той же схеме. Увеличивается только число возможных ориентаций и значения проекций магнитных моментов атомов на направление магнитного поля. Во всех случаях результат записывается в виде

  I = n�� L(x),         (48.8)

где L(х) называется функцией Ланжевена. В разобранном нами случае функция Ланжевена равна th х и обозначается через L1/2(x), поскольку механический момент атома (в единицах ℏ) равен 1/2.

В других случаях вид функции L(x) изменяется, но ее общий характер сохраняется. В классическом пределе, когда квантования нет, т. е. допустимы все ориентации магнитных моментов, функцию Ланжевена обозначают через L∞(x). Она равна

  L∞(x) = сthх – x.  (48.9)

5. Графики функций Ланжевена L1/2(x) и L∞(x) приведены на рис. 193. При малых х

L1/2(x) = x – x3/3 +…,  L∞(x) = x/3 +…

В соответствии с этим в слабых полях (х ≪1) I зависит от B линейно. По формуле (48.7) получается

I = nB��2/kT,  (48.10)

а по формуле (48.9) – классический результат (48.3), т. е. величина втрое меньшая. Магнитные моменты определяются внутренним строением атома. Тепловое движение недостаточно интенсивно, чтобы изменить их. Поэтому, как видно из формулы (48.10) или (48.3), магнитная восприимчивость парамагнит­ных газов должнa меняться обратно пропорционально абсолютной температуре T. Такая закономерность была обнаружена экспериментально П. Кюри еще до разработки соответствующей теории и носит название закона Кюри. Закон Кюри хорошо согласуется с опытом для газообразных парамагнетиков, а также для ряда твердых парамагнетиков (например, солей редких земель). С другой стороны, для многих жидких и твердых парамагнетиков изложенная элементарная теория недостаточна.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

§49. Ток смещения

1. Уравнения электромагнитного поля, применимые не только к посто­ян­ным, но и к переменным электромагнитным полям, были установлены Мак­свеллом. К этому он пришел путем подбора тех эмпирических законов и уравнений, которые не противоречат представлениям о конечной скорости распространения взаимодействий. Например, в эту систему не включены законы Кулона, Био-Савара и пр., так как при изменении расстояния между зарядами или токами, силы их взаимодействия меняются «мгновенно». А вот теорема Гаусса для электрических и магнитных полей – (10.4) и (33.1), закон электромагнитной индукции – (41.3), являются общими законами электро­ди­намики. То обстоятельство, что они удовлетворяют требованиям теории поля, следует из того, что их можно представить в дифференциальной форме (10.5), (32.2) и (41.4). К основным уравнениям электродинамики мы присоединим и закон сохранения электрического заряда. (19.4). В дифферен­циальной форме он имеет вид

∂с/∂t + divj = 0.  (49.1)

Для стационарных токов это уравнение переходит в

  divj = 0.  (49.2)

2. Теорема о циркуляции

∮Hdℓ = 4рℑ/с  (49.3)

также может быть преобразована в дифференциальную форму:

rot H = 4рj/c,  (49.4)

а потому удовлетворяет требованиям теории поля. Однако она не может входить в число основных уравнений электродинамики. Действительно, дивергенция всякого ротора тождественно равна нулю. Поэтому, взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (49.4), получим divj = 0. Но это соотношение справедливо только для стационарных токов. В общем случае оно про­тиворечит уравнению (49.1). Сомневаться в справедливости уравнения (49.1) нет оснований, так как оно выражает закон сохранения электрического заряда. Отсюда следует, что уравнения (49.3) и (49.4) могут быть верны только для стационарных токов. Для переменных электромагнитных полей они должны быть обобщены. Чтобы прийти к обобщенным уравнениям, воспользуемся следующим наводящим рассуждением. Поскольку дивергенция левой части уравнения (49.4) тождественно равна нулю, в правой части этого уравнения должен стоять вектор, дивергенция которого также всегда равна нулю. В случае стационарных электромагнитных полей этот вектор должен переходить в j. Легко указать вектор, удовлетворяющий этим условиям. Дифференцируя по времени соотношение div D = 4рс, получаем