Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 21 )

2. На границе раздела двух маг­нетиков магнитные линии долж­ны преломляться. Это следует из гра­ничных условий (37.1) к (37.4), если учесть соотношение (39.2). Допустим, что граница раздела плоская и никакой ток проводимости по ней не течет (рис. 39.1). Непре­рыв­ность тангенциальной составляющей вектора H дает:

H1 sin б1 = H2 sin б2,

а непрерывность нормальной составляющей В –

м1H1 cos б1 = м2H2 cos б2.

Из этих уравнений нахо­дим

tgб1/ tgб1 = м1/м2  (39.4)

– соотношение, аналогичное соотношению (12.5) для электриче­ских сило­вых линий. При переходе из магнетик с меньшей м в магнетик с большей маг­нитной проницаемостью маг­нитная линия удаляется от нормали к границе раздела сред. Это приводит к концентрации магнитных силовых линий в магнетиках c большей м.

На рис. 12.2 показано, как искажаются электрические силовые линии при внесении в однородное электрическое поле полого шара из диэлектрика. Совершенно так же действует полый железный шар, если его внести в маг­нитное поле. Из-за преломления маг­нитные силовые линии концентри­руют­ся преимущественно в же­лезе. Внутри полости их концентрация мала. Это значит, что магнитное поле в полости сильно ослаблено по сравнению с внешним полем, т. е. оболочка железной полости обладает экранирующим действием по отношению к внешнему магнитному полю. На этом основана магнитная защита. Для того чтобы предохранить ка­кой-либо чувствитель­ный прибор от воздействия внешних маг­нитных полей, его окружают желез­ной оболочкой.

Но оболочка не защищает внешние тела от воздействия маг­нитных полей токов или магнитов, помещенных внутри самой оболочки. Например, магнитное поле прямого круглого провода с током не изменится, если окружить его коаксиальной железной трубой. Это непосредственно следует из теоремы о циркуляции.

§40. Работа при перемещении витка с током в постоянном магнитном поле

1. Рассмотрим сначала частный случай. Пусть параллельные провода АВ и CD (рис. 40.1) помещены в однородное постоянное магнитное поле, пер­пендикулярное к плоскости рисунка и направ­ленное к читателю. Слева находится источник тока, не показанный на рисунке. По проводам может свободно перемещаться проводящий мостик KL, замыкающий ток ℑ, текущий по проводам левее мостика. Если ℓ – длина мостика, то на него магнитное поле дей­ствует с силой F = ℑℓB/c. При перемещении мостика на dx эта сила совершает работу

дA = ℑℓBdx/c = (ℑ/c)d(BS),

где S – площадь прямоугольника AKLC. Величина BS есть магнитный поток через тот же прямоугольник. Обоз­на­чив его через Ф, получим для элементарной работы

дA = (ℑ/c)dФ,  (40.1)

а для конечной работы

  А12 = (ℑ/c) (Ф2 - Ф1).  (40.2)

Таким образом, работа, совершаемая магнитным полем над током, равна приращению магнитного потока, умноженному на (ℑ/c). При выводе пред­полагалось, что ток ℑ при перемещении мостика KL поддерживался постоянным.

2. Результат справедлив и в том случае, когда магнитное поле направлено произвольно. Работа производится лишь составляющей В⊥, перпендикулярной к плоскости, в которой перемещается мостик KL.

Наконец, формулы (40.1) и (40.2) справедливы для любого витка с током при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле. Виток может не только перемещаться как целое, но и произвольно деформироваться. Для доказательства достаточно мысленно разбить виток на бесконечно малые элементы тока и рассмотреть их бесконечно малые перемещения. При бесконечно малом перемещении элемента тока магнитное поле, в котором он перемещается, может считаться однородным. Сложением элементарных работ для всех элементов тока, на которые разбит виток, снова получается выражение (40.1), в котором dФ означает приращение магнитного потока через весь виток. После этого переход от формулы (40.1) к формуле (40.2) совершается простым интегрированием.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

§41. Закон электромагнитной индукции

1. Открытие электромагнитной индукции Фарадеем в 1831г. было од­ним из наиболее фундаментальных открытий в электродинамике. Для де­мон­с­тра­ции этого явления возьмем неподвижный магнит и проволочную ка­тушку, концы которой соединим с гальванометром. Если катушку при­бли­жать к одному из полюсов магнита, то во время движения стрелка галь­ва­но­метра отклоняется – в катушке возбуждается электрический ток. При движении катушки в обратном направлении направление тока меняется на противоположное. Вообще, при движении катушки в постоянном магнитном поле в ней (за исключением некоторых специальных случаев, которые выяснятся ниже) возбуждается электрический ток, прекращающийся, когда катушка останавливается. Этот ток называется индукционным током, а само явление – электромагнитной индукцией.

2. Возбуждение электрического тока при движении проводника в маг­нитном поле объясняется действием силы Лорен­ца, возникающей при движении проводника. Расс­мотрим сна­чала простейший случай, когда два параллельных провода АВ и CD помещены в пос­тоянное однородное магнитное поле, перпен­ди­ку­лярное к плоскости рисунка и направленное к нам (рис. 41.1). Слева провода АВ и CD замкнуты, спра­ва – разомкнуты. Вдоль проводов может свободно скользить проводя­щий мостик CB. Когда мостик движется вправо со скоростью v, вместе с ним движутся электроны и положительные ионы. На каждый движущийся заряд е в магнитном поле действует сила Лоренца F = е[vB]/c. На поло­жи­тельный ион она действует вниз, на отрицательный электрон – вверх. В результате электроны начнут перемещаться по мостику вверх, т. е. по нему потечет электрический ток, направленный вниз. Это и есть индукционный ток. На рис. 41.1 этот ток изображен сплошными стрелками.

Сила Лоренца F в описанном опыте играет роль сторонней силы, воз­буждающей электрический ток. Соответствующая напряженность сторон­него поля равна Естор = F/e = [vB]/c. Электродвижущая сила, создаваемая этим полем, называется электродвижущей силой индукции и обозначается ind. В рассматриваемом случае ind = - vВℓ/c, где ℓ – длина мостика. Знак минус поставлен потому, что стороннее поле  [vB]/c направлено против положительного обхода контура, определяемого вектором В по правилу правого винта. На рис. 41.1 это направление показано пунктирными стрелками. Величина ℓv есть приращение площади контура ABCD в единицу времени, или скорость приращения этой площади. Поэтому величина vBℓ равна dФ/dt, т. е. скорости приращения магнитного потока, пронизываю­щего пло­щадь контура ABCD. Таким образом,

  .  (41.1)

Результат (41.1) справедлив и в том случае, когда однородное магнитное поле В направлено под любым углом к плоскости контура ABCD. Ток вызывается только нормальной составляющей поля В к плоскости ABCD.

Формула (41.1) выражает основной закон электромагнитной индукции. Она показывает, что при движении замкнутого провода в магнитном поле в нем возбуждается электродвижущая сила, пропорциональная скорости приращения магнитного потока, пронизывающего контур провода.

3. К формуле (41.1) можно прийти также с помощью закона сохранения энергии, как это впервые сделал Гельмгольц (1821–1894). Рассмотрим, сле­дуя Гельмгольцу, замкнутый виток провода, в который включен гальвани­ческий элемент с электродвижущей силой ℰ. Виток движется в постоянном магнитном поле (вообще говоря, неоднородном). За время dt амперовы силы совершают над витком работу ℑdФ/c. Кроме того, в витке выделяется джоулево тепло Rℑ2dt. Сумма этих величин должна равняться работе гальванического элемента ℑdt, т. е.

  ℑdФ/c + Rℑ2dt = ℑdt.  (41.2)

Отсюда

  ℑ = [ - dФ/cdt]/R.  (41.3)

Таким образом, в движущемся витке ток определяется не только элек­тро­движущей силой гальванического элемента. К ней добавляется слагаемое – (1/c)dФ/dt. Это слагаемое и есть электродвижущая сила индукции.

4. Индукционные токи могут возникать и в неподвижных проводниках. Действительно, возьмем замкнутый провод и постоянный магнит. При движении провода возникает индукционный ток. Что произойдет, если, оставляя провод неподвижным, двигать магнит? Покой и движение – понятия относительные. Явление индукционного тока должно зависеть только от относительного движения провода и магнита. Отсюда следует, что при движении магнита будет возбуждаться такой же индукционный ток, что и при соответствующем движении провода. Опыт подтверждает это заключение. Возьмем прежнюю катушку, соединенную с гальванометром, и будем приближать к ней магнит. Стрелка гальванометра отклонится – в катушке возбудился элек­трический ток. При удалении магнита стрелка отклоняется в противоположную сторону, т. е. индукционный ток меняет направление. Когда магнит ос­та­навливается, индукционный ток в катушке прекращается.

В описанных опытах с движением магнита менялся магнитный поток, пронизывающий неподвижную катушку. Но такое же изменение магнитного потока можно получить и без движения магнита. Достаточно поместить катушку в переменное магнитное поле. Возьмем две неподвижные катушки, одна из которых помещена внутри другой. Если через одну из катушек пропускать переменный ток, то в другой катушке появляется индукцион­ный электрический ток. Таким образом, для возбуждения индукционного тока су­щественно изменение магнитного потока через контур проводника, а не спо­соб, каким это изменение достигается.