Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 29 )

2. Исследуем колебания затухающего осциллятора под воздействием внешней синусоидальной силы

  X = X0 cosщt,  (55.2)

где Х0 и щ – постоянные. Задача сводится к решению уравнения

  ,  (55.3)

где правую часть уравнения (55.3) заменили на величину X0еiщt. Частное решение последнего уравнения ищем в виде q = q0 еiщt, которое, подставляя в уравнение (55.3), получим

    (55.4)

Это частное решение описывает так называемые вынужденные колебания осциллятора. Они происходят с частотой щ внешней воз­буждающей силы. Добавив к частному решению (55.4) общее решение соответствую­ще­го однородного уравнения (55.5), описывающее свободные колебания ос­цил­лятора, получим

    (55.5)

Однако свободные колебания всегда экспоненциально затухают, причем за время ф = 1/г амплитуда свободных колебаний убывает в e раз. Процесс затухания свободных колебаний называется уста­новлением вынужденных колебаний, а время ф – вре­менем установления. Если t ≫ ф, то свободные колебания прак­тически исчезнут. Останутся одни только вынуж­ден­ные колебания, совершенно не зависящие от начальных условий. Иссле­дованием таких колебаний и займемся.

3. В решении (55.4) должна быть оставлена только вещественная часть. Для нахождения последней введем обозна­чение

  щ02 – щ2 + 2iг = сeiд,  (55.6)

где с и д – величины вещественные. Тогда q = (X0/с)ei(щt – д) , или в вещественной форме

  q = a cos(щt – д ).  (55.7)

Величины a и д найдем, приравнивая вещественные и мнимые части в соотношении (55.6). Таким путем получаем

щ02 – щ2 = с cosд,  2щг = с sinд,

откуда

    (55.8)

    (55.9)

Таким образом, вынужденное колебание будет гармоническим, ампли­туда и фаза которого определяются формулами (55.8) и (55.9).

4. Исследуем сначала поведение амплитуды вынужденных колебаний в за­висимости от частоты щ. Электрические и механические колебания будем рас­сматривать совместно, называя вели­чину q либо зарядом конденсатора, ли­бо смещением колеблющегося тела из по­ложения равновесия. Оставляя амплиту­ду силы X0 неизменной, будем менять ее частоту щ. При щ = 0 получаем стати­ческое отклонение под действием постоянной силы X0: a0 = Х0/щ0. При возрастании частоты амплитуда а сначала возрастает, прохо­дит через максимум и, наконец, асимпто­тически стремится к нулю (рис. 55.1). Приравнивая к нулю произ­водную da/dщ, убеждаемся, что амплитуда смеще­ния (заряда) а достигает максимума при щ = √(щ02-2г2). Максимумы амплитуды скорости (тока) aщ и амплитуды ускорения (напряжения Ldℑ/dt) щ2a достигаются соответственно при щ = щ0 и щ = щ02/√(щ02-2г2).

Найдем еще частоту, при которой максимальна средняя мощ­ность, развиваемая силой X. Мощность выражается произведе­нием силы X на скорость dq/dt. Так как произ­ведение гармонически колеблющихся величии X и dq/dt – нелиней­ная операция, то надо пользоваться вещественной формой пред­ставления колебании, т. е. формулами (55.2) и (55.7). Из них получаем

N = aщХ0 cos щt sin (щt - д) = 1/2aщХ0[ sin д - sin (2щt – д)].

Второе слагаемое в квадратных скобках синусоидально меняется во времени с частотой 2щ. Его среднее значение пo времени равно нулю. На величину средней мощности оно не влияет. Последняя определяется только первым слагаемым и равна 1/2aщХ0 sin д. Она достигает максимума при той же частоте, что и амплитуда скорости, т. е. при частоте щ = щ0.

В наиболее важном случае, когда затухание невелико, поло­жения всех максимумов почти не отличаются друг от друга. Поэтому за максимум амплитуды смещения можно принять ее значение при щ = щ0, т. е.

  amax = X0/2гщ0 = щ0a0/2г.  (55.10)

Отношение максимального значения амплитуды аmax к статиче­скому отклонению a0 называется добротностью осциллятора или колебательного контура. Обозначая добротность через Q,  имеем

  Q = amax/a0 = щ0/2г = р/d,  (55.11)

где d – логарифмический декремент.

Кривая, изображающая зависимость амплитуды колебаний от частоты внешней возбуждающей силы, называется резонанс­ной кривой (рис. 55. 1). Одной из характеристик резонансной кривой может служить значение амплитуды в максимуме amax. Другой важной характеристикой является ширина резонансной кривой. Пусть щ1 и щ2 – значения частоты, при которых энер­гия колебаний вдвое меньше энергии в максимуме. Тогда при щ2–щ0 ≪ щ0 и щ0–щ1 ≪ щ0 получаем

  ∆щ ≡ щ2 – щ1 = 2г = щ0/Q.  (55.12)

Величина ∆щ называется шириной (или полушириной) резонансной кривой. Мы видим, что чем больше добротность осциллятора, тем уже резонансная кривая. Далее, из формул (55.10) и (55.12) получаем

∆щ amax = a0 щ0.  (55.13)

Чем больше максимум резонансной кри­­вой, тем он острее.

5. Итак, наиболее интенсивные колебания будут наблюдаться при частоте щ = щ0. Явление возбуждения сильных колебаний пpи частоте возбуждающей силы, равной или близкой собственной частоте колебательной си­с­темы, называется резонансом. Физическая причина этого явления предельно проста. Ее лучше всего пояснить на примере силы, в виде одинаковых кратковременных толчков, следующих друг за другом через одинаковые промежутки времени. Между двумя последовательными толчками система дви­жется свободно. Если толчки следуют друг за другом через промежутки времени, равные периоду собственных колебаний системы, то каждый новый толчок вызывает приращение скорости того же знака и величины, что и предыдущий толчок: толчки уси­ливают друг друга. В этом случае энергия, вкладываемая в систему, максимальна. Амплитуда колебаний будет нарастать до тех пор, пока возросшие силы трения в среднем за период колебаний не ком­пенсируют действие каждого нового толчка. Тогда установятся наиболее интенсивные колебания, характеризующиеся максимумом амплитуды скорости и максимальной энергией. Это и есть резо­нанс.

Явление резонанса удобно демонстрировать на камертонах, так как они отличаются высокими добротностями. Возьмем два камертона с оди­на­ковыми собственными частотами и установим их на резонансных ящиках. Заставим звучать один камертон. Излучаемые им звуковые волны будут воздействовать на второй камертон. Так как частоты совпадают, то наступает резонанс – второй камертон начинает колебаться и звучать.

Вся тех­ника радиоприема основана на резонансе. Для того чтобы радио­приемник «принимал радиостанцию», необходимо его «настроить», т. е. добиться совпадения собственной частоты колебательного контура радиоприемника с частотой волн, излучаемых передающей радиостанцией.

6. Явление резонанса может быть и вредным, и тогда с ним приходится бороться. Пятикратный и даже десятикратный запас прочности, предусматриваемый при статических расчетах меха­нических систем, может оказаться недостаточным, если системы подвергаются действию периодических, хотя и относительно сла­бых сил. Так, при прохождении отряда пехоты или кавалерии по мосту «в ногу», периоди­ческие толчки могут попасть в такт с собст­вен­ными колебаниями моста. Тогда наступит резонанс. Амплитуда коле­ба­нй моста может увеличиться настолько, что он рухнет…

§56. Закон Ома для переменных токов

1. Рассмотрим участок цепи, состоящий из последовательно соединенных омического сопротивления R, катушки самоиндукции L и конденсатора С, к концам которого приложена синусоидальная электродвижущая сила ℰ = ℰ0 cos щt (рис. 52.2). Найдем ток ℑ, который установится в цепи под действием этой электродвижущей силы. С этой целью перейдем к комплексной фор­ме ℰ = ℰ0eiщt. Тогда заряд конденсатора в установившемся режиме представится выражением (55.4). Дифференцируя его по времени с учетом соотношений ℑ = iщq,  (52.7), (52.8), (52.9), находим

ℑ = ℰ/Z,  ℰ = ℑZ,  (56.1)

где введено обозначение

Z = R + i(щL – 1/щC).  (56.2)

Формула (56.l) называется законом Ома для переменных токов. Роль со­противления играет комплексная величина Z, называемая комплексным со­противлением, или импе­дансом. Физическое содержание соотношения (56.1) раскроется полностью, если представить его в вещественной форме. Вопрос сводится к определению амплитуды и фазы тока. Начнем с рас­смотрения частных случаев.

Случай 1. Цепь не содержит конденсатора и катушки самоиндукции. При отсутствии самоиндукции L = 0. Отсутствие конденсатора означает, что точки 3 и 4 на рис. 52.2 сливаются в одну точку, т. е. напряжение между этими точками все время равно нулю. Формально, этому соответствует значение С = ∞, а не С = 0, как могло показаться на первый взгляд. В результате формула (56.1) переходит в обычный закон Ома ℰ = ℑR – между током и напряжением нет сдвига фаз.

Случай 2. Цепь не содержит конденсатора и омического сопротивле­ния (R = 0, С = ∞). В этом случае

  Z = i щL,  ℰ = i щLℑ.  (56.3)

Импеданс Z чисто мнимый. Это значит, что сдвиг фаз между током и напряжением равен 90°.  Действительно,

ℰ = щLℑeiр/2  или  ℰ = щLℑ0 ei(щt + р/2).

В вещественной форме

ℰ = щLℑ0 cos(щt + р/2),  ℑ = ℑ0 cos щt.

Отсюда видно, что ток на индуктивной катушке отстает от напряжения по фазе на р/2 (рис. 56.1). Амплитуда тока связана с амплитудой напряжения соотноше­нием ℰ0 = щLℑ0. Величина щL называется индуктив­ным сопротивлением. Индуктивное сопротивление тем  больше, чем больше частота щ и индуктивность катуш­ки L. Для увеличения индуктивного сопротив­ления в катушку самоиндукции вводят желез­ный сердечник, состоящий из железных полос или проволок, изолированных друг от друга, например, лаком. Такая катушка называется дросселем.