Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 36 )

б)  Исследовать случай: x = 0 и |х| ≫ r.

в) Определить максимальное значение модуля напряжен­ности Ет и координаты хт точек, в которых оно наблюдается.

г)  Построить примерные графики функций ц(x) и Ех(х). Выяснить, чем для кривой ц(х) являются точки хт.

По круглой тонкой пластинке радиуса r = 0,1 м равномерно распределен заряд q=1 мкКл. Приняв ось пластинки за ось x, а) найти ц и Ех для точек, лежащих на оси, как функции х, исследовать полученные выражения для |x|≫r, б) вычислить ц и Ех в точке x=10 cм. Очень тонкая пластинка имеет форму кольца с внутренним радиусом а и внешним – b. По пла­стинке равномерно распределен заряд q. Приняв ось пла­стинки за ось x, найти ц и Ех на оси пластинки как функции x. Исследовать случай |x|≫b. Воспользовавшись результатом задачи 1.26, по­лучить выражение для Ех поля бесконечной плоскости, за­ряженной однородно с плотностью о (ось x перпендикуляр­на к плоскости). В предыдущей задаче для напряженности поля, создаваемого бесконечной однородно заряженной плоско­стью, получено выражение E= 2ру. Возьмем точку P, отстоящую от плоскости на расстояние b. Прове­дем вокруг основания перпендикуля­ра, опущенного на плоскость из точки P, ок­ружность радиуса а. Найти значе­ния а и r, при котором напряженность, создавае­мая в P зарядами, расположен­ными внутри окружности, составляет половину полной на­пряженности. Определить дивергенцию векторных полей: а) a = f(x)i, где f(x) – некоторая функция декартовой координаты x, б)  a = r, где r – радиус-вектор точки, в)  а = еr, где еr – орт радиус-вектора точки, г)  а = f(r)еr, где f(r) – некоторая функция модуля радиус-вектора. Имеется однородное поле некоторого вектора а. Определить: а) дивергенцию этого поля ∇a, б) поток вектора a через произвольную замкну­тую поверхность Фа. Вычислить поток Фr радиус-вектора r через сферу радиуса R с центром в начале координат. Известна функция f(r), определяющая диверген­цию вектор­ного поля a: ∇a=f(r). Написать выражение для потока Фа вектора a через сферу радиуса R с центром в начале координат. В области векторного поля a имеется воображае­мая замкнутая поверхность S, внутри которой всюду ∇a= 0. Разделим S произвольно на две части S1 и S2. B каком со­отношении находятся потоки Ф1 и Ф2 вектора а через S1 и S2? Определить ∇E для однородного поля. Найти зависимость плотности зарядов с от декар­товых координат x, у, z, при которой напряже­н­ность поля описывалась бы функцией  E = х i+2у2 j+3r3 k. Найти зависимость плотности зарядов p от модуля r радиус-вектора, при которой напряженность поля описы­валась бы функцией Е = еr Aexp (–бr), где А и б – кон­станты.   Определить ротор следующих векторных полей: а)  a=f(x)i, где f(x) – некоторая функция декартовой координаты x, б) а = r, где r – радиус-вектор точки, в которой оп­ределяется ротор, в) а = еr, где er – орт радиус-вектора точки. г) а = f(r)еr, где f(r) – некоторая функция модуля r. Может ли электростатическое поле иметь вид E = - a (yi - xj)?   Для поля E = –a(yi–xj) вычислить: а)  ротор в точке с координа­тами (x, у, z), б) циркуляцию C по окружности радиуса b, лежащей в пло­скости x, у (с центром в произвольной точке); направле­ние обхода образует с осью z правовинтовую систему.   Имеется бесконечная плоскость, заряженная од­нородно с плот­но­стью у. Ось x перпендикулярна к плоскости; начало отсчета x нахо­дится в точке пересечения оси с плоскостью. а) Воспользовавшись теоремой Гаусса, найти Ех в точке x. б) Найти зависимость ц от x. в)  Можно ли  нормировать ц так, чтобы ц обращался в нуль на бесконечности?

  Может ли поле вне разноименно и однородно заря­женных парал­лельных бесконечных плоскостей быть от­личным от нуля?   Две параллельные бесконечные плоскости заряже­ны: одна с плотностью у1=+4,42·10-10 Кл/м2, дру­гая с плотностью у2 = – 8,84·10-10 Кл/м2 (рис. 3.43). Найти на­пряженность поля E для каждой из областей А, В и  С.   Имеется бесконечная очень тонкая прямая нить, заряженная однородно с линейной плотностью ��. Восполь­зовавшись теоремой Гаусса, найти модуль напряженности поля E как функцию расстояния r от нити. Сравнить полу­ченный результат с ответом к задаче 3.24.   Бесконечная тонкая прямая нить заряжена одно­родно с плот­но­стью ф = 2 мкКл/м. а)  Найти E и ц как функции расстояния r от нити. По­тенциал  на  расстоянии  r0=1 м  положить равным нулю. б)  Вычислить E и ц для r =10 м. в) Можно ли нормировать потенциал так, чтобы он обращался в нуль на бесконечности?   С какой силой F (на единицу длины) отталкивают­ся две одно­именно заряженные бесконечно длинные па­раллельные нити с одинаковой плотностью заряда ф = 3мкКл/м, находящиеся на расстоянии b=20 мм друг от друга? Какую работу A (на единицу длины) нужно совершить, чтобы сблизить нити до расстояния 10 мм?   Имеется сфера радиуса R, заряженная однородно с поверх­но­стной плотностью  ��. а) Найти  напряженность поля E в точке, отстоя­щей на рас­стояние r от центра сферы (r < R). б)  Какое заключение вытекает из ответа на п. а)? в) Чему равен потенциал ц внутри сферы?   Шар радиуса R заряжен однородно с плотностью с. Найти напряженность поля E и потенциал ц для точек внутри шара. Пространство заполнено зарядом, плотность ко­торого изме­няе­тся по закону с=б/r, где б – константа, r – расстояние от начала координат. Найти напряжен­ность поля E как функцию радиус-вектора r. Исследовать характер линий напряженности. Область вблизи начала координат исключить из рассмотрения.   Пространство заполнено зарядом плотности с = с0ехр(- бr3), где с0 и б – константы. Найти E как функцию r. Исследовать характер поля при больших (бr3 ≫ l) и малых (бr3 ≪ l) r.

Электрическое поле в диэлектриках

В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью е смещение имеет значение D. Чему равен вектор P в этой точке?   Имеются две бесконечные параллельные плоско­сти, заряжен­ные c плотностями +у и –у. Первоначально они находятся в вакууме. Затем зазор между плоскостями заполняется однородным изотропным диэлектри­ком с про­ницаемостью е. Что происходит при этом с: а) напряжен­ностью E поля в зазоре, б) смещением D, в) разностью по­тенциалов U между плоско­стями? В однородное электрическое поле с напряженно­стью Е0 = 100 В/м помещена бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного диэлек­трика с проницаемостью е = 2. Пластина расположена перпендикулярно к Е0. Определить: а) напряженность поля E и электри­ческое смещение D внутри  пластины, б)  модуль вектора поляризации диэлек­три­ка  P, в) поверхностную плотность связанных зарядов у'. Бесконечная пластина толщины a из изотропного диэлектрика поляризована так, что вектор поляризации вблизи одной границы пластины равна P1=P1n, а вблизи дру­гой границы равна Р2=P2n, где n – единичный вектор, пер­пендикулярный к пластине и направленный от первой гра­ницы ко второй. Найти среднюю по объему пластины объем­ную плотность связанных зарядов (с').   Бесконечная пластина из изотропного диэлектри­ка помещена в пер­пендикулярное к ней однородное внеш­нее электрическое поле с напря­жен­ностью Е0. Толщина пластины а. Проницаемость пластины меняется ли­нейно от значения е1 на левой границе до е2 на правой границе. Вне пла­сти­ны е = l. Найти: а) ∇E внутри пластины как функцию x, б)  поток ФЕ вектора E через воображаемую цилиндри­ческую поверх­ность с обра­зующими, па­раллельными оси x; основания цилиндра располо­жены в точ­ках x1 = – а/2 и x2 = +a/2; площадь каждого основания равна S, в) объемную плотность свя­занных зарядов с' как функ­цию x. Найти с' в середине пластины из предыдущей зада­чи, если е1 = 2, е2 = 4, a = l см, E0 = 3кВ/м.   Воображаемая замкнутая поверхность S проходит частично вне пластины из изотропного диэлектрика, частично – внутри нее. Поток век­то­ра D через эту поверхность равен нулю, поток вектора E больше нуля. Ка­кие можно сделать из этого выводы? Бесконечная пластина из диэлект­рика с проницаемостью е заряже­на однород­но с объемной плотностью с. Толщина пластины равна 2a. Вне пластины е = l. Направим ось x перпендикулярно к пластине; начало коор­динат поместим в середине пластины. Найти ц(x) и Ех(x) внутри и вне пластины (положить ц(x = 0) равным нулю). Построить графики ц и Ех.   Для пластины из предыдущей задачи найти: а) P(x); б) поверх­ностную плотность свя­занных зарядов ��' (x = –а), ��' (x = +a) на границах пластины; в) объемную плотность связанных зарядов с'. Пластина из задачи 3.58 заряжена с плотностью с=с0 ехр(– ��х), где с0 и �� – константы. Найти: а)  проекцию напряженности поля на ось x, б) объемную плотность связанных зарядов как функ­цию  x.

Проводники в электрическом поле

Точечный заряд q = 20нКл находится в вакууме на расстоянии a = 50мм от заземленной плоской металли­ческой стенки. Найти силу F, с ко­то­рой стенка притягивает к себе заряд.

Вблизи заземленной плоской металлической стен­ки находится на расстоянии a от нее точеч­ный заряд q. Определить поверхностную плот­ность у зарядов, индуцированных на стен­ке, как функцию расстояния x от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на стенку. Вычислить суммарный индуцирован­ный заряд qинд, полагая размеры стенки бес­конечно большими. Первоначально в пространстве меж­ду обкладками плоского кон­ден­сатора имеет­ся вакуум. В этом случае напряженность поля в зазоре рав­на E, а электрическое сме­щение D. Затем половина зазора заполняется так, как показано на рис. 1.63, однородным изотропным диэлектриком с прони­цаемостью е. Найти возникающие после этого значения E1 и D1 в части зазора 1, а также значения Е2 и D2 в части за­зора 2. Рассмотреть два случая: а) остается  прежним  напря­же­ние между обкладками, б) остаются неизменными заря­ды  на обкладках. Изобразить примерный ход линий E и D в зазоре. Решить предыдущую задачу, если диэлектриком заполняется половина зазора так, как показано  на  рис. 1.64. Площадь каждой обкладки плоского конденсатора S=1M2, расстояние между обкладками d=5мм. За­зор между об­кладками заполнен двухслойным диэлектри­ком. Прони­цаемость и толщина первого слоя е1=2, d1=3мм, второго слоя е2=3, d2=2мм. Найти емкость C конденсатора. Пренебрегая искажением поля вблизи краев об­кладок, получить выражение для емкости C цилиндриче­ского конденсатора. Радиусы обкладок r1 и r2 (r1<r2), длина их l. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком с про­ницаемостью е. Получить выражение для емкости C сферического конденсатора. Радиусы обкладок r1 и r2 (r1<r2). Зазор меж­ду обкладками заполнен диэ­лектриком с проницаемостью е. Радиусы обкладок сферического конденсатора r1 = 9см и r2= 11см. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется с рас­стоянием r от центра конденсатора по закону е = 2r1 /r. Найти емкость C конденсатора. Имеется N конденсаторов, емкости которых равны G, С2, . .., CN. Получить выражение для емкости C си­стемы конденсаторов при а) парал­лельном, б) последователь­ном соединении их друг с другом. 10 одинаковых конденсаторов, емкость каждого из которых 100 пФ, соединены последовательно. Чему равна емкость C этой системы? Как нужно соединить конденсаторы C1=2 пФ, С2=4 пФ и С3=6 пФ, чтобы получить систему с емкостью C=3 пФ? На два последовательно соединенных конденса­тора C1=100 пФ и С2=200 пФ подано постоянное напряже­ние U=300 В. Определить на­пряжения U1 и U2 на конден­саторах и заряд q на их об­кладках. Какова емкость C системы? Два длинных про­вода радиуса a=0,5мм распо­ложены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями b =10мм. Найти взаи­м­ную емкость C проводов, приходящуюся на единицу их длины. Найти емкость C конденсатора, образованного двумя одинако­вы­ми шариками радиуса а, находящимися в среде с диэлектрической проницаемостью е. Расстояние между центрами шариков равно b (b^>a). Вычислить С для a=10 мм и e=l.

Энергия электрического поля