Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 11 )

  q = C(ц1 - ц2).  (15.3)

Постоянная C зависит только от размеров и устройства кон­денса­тора. Она называется емкостью конденсатора.

Возьмем два конденсатора. В одном пространство между об­кладками заполнено однородным диэлектриком с диэлектри­чес­кой проницаемостью е, в другом между обкладками – вакуум (такой конденсатор обычно называ­ют воздушным). В ос­таль­­ных отношениях оба конденсатора тождественны. При одних и тех же зарядах разность потенциалов между обкладка­ми первого конденсатора будет в е раз меньше, чем между обклад­ками второго. Следовательно, емкость С конденсатора с диэлектриком будет в е раз больше емкости С0 воздушного конденсатора:

  C = е C0.  (15.4)

3. Во всякой системе единиц за единицу емкости прини­ма­ют емкость такого конденсатора, который единичным зарядом заря­жается до разности потенциалов, равной единице. В гауссовой и CGSE-системах, как это видно из формулы (15.2), единичной емкостью обладает уединенный шарик в вакууме, если радиус его равен 1см. Размерность емкости в этих систе­мах единиц совпадает с размерностью длины. Поэтому указан­ная еди­ница емкости на­зывается сантиметром. Практической еди­ницей емкости является фарада. Фарада есть емкость такого кон­денсатора, который одним кулоном электричества заря­жа­ется до разности потенциалов в один вольт. Очевидно:

Ф = Кл/В = 3·109CGSEq·300/ CGSEц = 9·1011см.

Емкостью в одну фараду обладает уединенный шар в ваку­уме с радиусом 9·1011см = 9·106км. Это большая ем­кость. На практике применяется микрофарада, равная миллионной доле фарады, а также пикофарада, которая в миллион раз меньше микро­фарады. Емкостью в одну пикофараду обладает шарик в вакууме, если его радиус равен 0,9 см.

4. Емкость плоского кондeнсатоpа. Поле между обкладками конден­сатора почти всюду однородно (рис. 15.1а). Однородность поля нарушается только вблизи краев конденсатора. Такими «краевы­ми эффектами» при вычислении емкости кон­ден­­сатора мы пренебрежем. Это можно делать, когда расстояние d между обклад­ками дос­та­точно мало по сравнению с их линейны­ми раз­мерами. Ес­ли у – поверхностная пло­т­­ность электричества на по­ложи­тель­ной обкладке, S – площадь последней, то q = уS. Напряженность поля есть E = 4лу/е, a разность потенциалов ц1 – ц2 = Ed = 4руd/е. Так что емкость конденсатора будет

  C = еS/4рd.  (15.5)

5. Емкость шарового кондeнсатоpа. Обкладками конденсатора явля­ются две сфе­ры: внутренняя с радиу­сом R1 и внеш­няя с радиусом R2 (рис. 15.1б). Разность потенциа­лов между ними равна ц1 – ц2 = (q/е)(1/R1 – 1/R2).

Емкость конденсатора будет

  (15.6)

Если толщина зазора между обкладками d = R2 - R1 мала пo сравнению с радиусами R1 и R2, то площади обкладок почти одинаковы  и  равны S ≈ 4рR12 ≈ 4рR22 ≈ 4рR1R2. Тогда формула (15.6), как и следовало ожидать, совпадает с форму­лой (15.5) для емкости плоского конденсатора.

6. Конденсаторы часто соединяют в батареи. Соединение может быть параллельным (рис. 15.2b) или последовательным (рис. 15.2a).

Ог­ра­ничимся случаем двух конденсаторов. При параллельном соеди­нении раз­ности потенциалов между обк­лад­ками обо­их конденса­торов оди­наковы, а заряды обкладок скла­дыва­ют­ся: q = q1 + q2. Делением на об­щую разность по­тен­­циа­лов ц1– ц2 находим емкость ба­­тареи:

  С = С1 + С2.  (15.7)

При последовательном соединении средние пластины, соеди­ненные между собой, эле­к­тризу­ю­тся через влияние, а потому их заряды равны и противоположны по знаку. Таким об­ра­зом, заря­ды на обоих конден­саторах одинаковы. Раз­нос­ти по­тенциа­лов складываются: ц1 - ц3 = (ц1 - ц2) + (ц2 - ц3). А так как  ц1 - ц3 = q/C,  ц1 - ц2 = q/C1,  ц2 - ц3 = q/С2, то отсюда получаем

1/C = 1/C1 + 1/C2.  (15.8)

Обобщение формул (15.7) и (15.8) на случай нескольких кон­денсаторов тривиально. Параллельное соединение приме­ня­ется для увеличения емкости конденсатора. Последова­тель­ное соединение применяют тогда, когда во избежание пробоя большую разность потенциалов требуется распределить между несколькими конденсаторами.

§16. Электрическая энергия

1. Электрическая энергия, как и всякая другая энергия, зави­сит только от состояния системы, но не зависит от способа, каким система была при­ве­дена в это состояние. Вычислим сна­ча­ла электри­ческую энергию заряжен­ного конденсатора. Она однозначно опре­деляется зарядами его обкладок или разнос­тью потенциалов между ними. Способ зарядки на величину энергии не влияет. Если конденсатор не заряжен, то на каждой из его обкладок име­ет­ся смесь одина­ко­вых количеств положительного и отрицательного элект­ри­честв. Будем переносить положительное электричество бес­конечно малы­ми порциями dq с отрицательной обкладки на поло­жительную. Для пе­ре­носа заряда dq внешние силы долж­ны совер­шить работу против электрического поля:

  дАe = цdq,  (16.1)

где ц – мгновенное значение разности потенциалов между обклад­ками. Ра­бо­та самого конденсатора будет такой же по вели­чи­не, но противоположной по знаку:

дA = - цdq. 

Зарядка конденсатора может сопровождаться выделением или погл­още­нием тепла, а также изменением плотности диэ­лек­трика. Однако в боль­шин­ст­ве случаев эти эффекты незна­чи­тельны. Тогда ра­бота дАe целиком пойдет на увеличение электрической энергии конденсатора W, т. е.

  dW = цdq = qdq/C.  (16.2)

Если, как мы предположили, температура и плотность диэлектрика при зарядке не изменяются, то не будет изме­нять­ся также диэлектри­ческая про­ни­цаемость е, а с ней и емкость кон­денсатора C. Поэтому интегрированием предыдущего выражения находим

  W = q2/2C = qц/2 = Cц2/2.  (16.3)

2. Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему на совокупность элементарных объемных зарядов: dq = сdV, и поверхностных зарядов: dq = у dS, и интегрируя, получаем формулу

    (16.4)

где с – объемная, а у – поверхностная плотности (свободного) электри­че­ства. В таком виде формула справедлива при любом распределении проводя­щих и диэлектрических сред в пространстве. Интегрирование должно про­во­диться по всем объемам и поверхностям, где распределены сво­бод­ные заряды.

§17. Локализация электрической энергии

1. Формулы (16.3) и (16.5) выражают электрическую энергию через заряды и потенциалы. Но ее можно выразить также через напряженность и индукцию электрического поля. Сделаем это сна­чала для случая плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком. Искажениями эле­к­трического поля у краев конден­сатора пренебрежем. Если d – расстояние между обкладками, то ц = Ed. Кроме того, q = уS = SDn/4р и, следовательно, dq = SdDn/4р. Подставляя эти выражения в формулы (17.1) и (16.2), получим

    (17.1)

где V = Sd – объем конденсатора. Если справедливо соотношение D = еE, то интегрирование дает

    (17.2)

2. Выполним теперь аналогичное преобразование для конден­сатора более общей формы (рис.17.1). Разделим поверхность положительной обкладки на элементарные площадки dУ и через их границы проведем силовую трубку длиной dℓ, одна из которых изо­бра­жена на рис. 17.1. Заряд на положительной обкладке  пред­ставляется интегралом q = ∫уdУ = ∫(Dn/4р)dУ, взятым по ее поверхности. Внутри трубки элек­три­ческих заря­дов нет. Поэ­то­му поток вектора D через попе­реч­ное сечение трубки сохраняет свое значение по всей ее длине. Взяв сечение dS в произвольном месте, можем написать DndУ = DℓdS, где Dℓ – проекция вектора D на направление силовой линии в том же месте. Представив далее разность потен­циалов между обкладками интегралом вдоль силовой линии, преоб­ра­зуем выражение (16.3) к виду

Так как dℓ·dS = dV, то этот интеграл сводится к объемному:

  (17.3)

и берется по всему объему между обкладками конденсатора.

3. Формулы (17.3) и (16.4) эквивалентны. Формула (16.4) выражает энергию W через заряды и потенциалы тел и интерпретируется как потенциальная энергия электрически заряженных тел, притягивающихся или отталкивающихся друг от друга. Напротив, формула (17.3) соответствует представ­лени­ям теории поля: электрическая энергия выражена через напря­женность и индукцию электрического поля в диэлектрике. Такое выражение наводит на мысль, что электрическая энер­гия, подобно веществу, распределена в пространстве с объемной плотностью

  или    (17.4)