Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 33 )

  E = f(x - ut),  H = g(x - ut).  (61.7)

Тогда dE/dt = - ufґ, dH/dx = gґ и после подстановки в первое уравнение (61.3) получится gґ= еuf'/c. Интегрируя это соотношение и опуская постоян­ные интегрирования (имеющие смысл статических полей, не представляющих интереса в рассматривае­мом вопросе), придем к соотношению g = еuf/c,  или  H = uD/c.

Аналогично поступаем со вторым уравнением (61.3). Таким образом,

  H = uD/c,  E = uB/c,  (61.8)

или в векторной форме

  H = [uD]/c,  E = -[uB]/c,  (61.9) 

где u – вектор скорости, с которой распространяется электро­магнии­тное воз­­мущение.

Векторы Е, В, u (а также векторы D, H, u) взаимно перпен­дику­ляр­ны и образуют правовинтовую систему. Взаимное распо­ложение их показано на рис. 61.1а. Это правовинтовое соотноше­ние указанных векторов есть вну­треннее свойство бегущей элек­тромаг­нитной волны, не зависящее ни от какой координатной системы. Повернем на рис. 61.1a тройку векторов Е, В, u вокруг оси X на 90°. Получится расположение, представленное на рис. 61.1б.  Теперь электрический вектор будет направлен по оси Z, а маг­нитный – по оси Y. Такому расположению со­ответствует вторая группа урав­не­ний, входящая в систему (61.2). По­вернем далее тройку векторов E, В, u на рис. 61.1а вокруг оси Z на 180°. Получится распо­ло­же­ние, приведенное на рис. 61.1в, которому соответствует волна, распро­стра­няющаяся влево.

2. Вид функции f (или g) в плоской бегущей электромагнит­ной волне зависит от начальных условий и может быть каким угодно. Особое значение имеют синусоидальные, или монохромати­ческие, волны:

E = E0cos(t – x/u) ,  H = H0cos(t –x/u),  (61.10)

где Е0 и Н0 – амплитуды волны. Введением волнового числа

  k = щ/u,  (61.11)

решение (61.10) представим в виде

E = E0 cos (щt – kx),  H = Н0 cos (щt - kx).  (61.12)

Если фиксировать координату x, то получатся синусоидальные функции времени, описы­вающие гармонические колебания с круговой частотой щ. Напро­тив, если фиксировать вре­мя t, то получится синусоидальное рас­пределение поля E, H в прос­транстве в рассматриваемый момент времени (рис. 61.2). Простран­ст­венный период поля E, Н, т. е. длина волны равен

  л = 2р/k =  2рu/c = u/н.  (61.13)

Можно записать бегущую монохроматическую электромагнит­ную волну в векторной форме:

E = E0cos(щt - kr),  Н = Н0cos(щt - kr),  (61.14)

или в комплексной форме

E = E0ei(щt - kr),  Н = Н0ei(щt - kr).  (61.15)

Здесь Е0 и Н0 уже могут быть комплексными, что означает вве­дение начальных фаз. Однако, ввиду соотношений (61.8) или (61.9), в бегущей монохроматической волне электрический и магнитный векторы всегда колеблются в одинаковых фазах. Вид такой волны в пространстве в какой-либо момент времени изобра­жен на рис. 61.2. Чтобы составить представление об изменении поля во времени, на­до вообразить, что весь рисунок равномерно движется вправо со скоростью u. Чтобы получить волну, распро­стра­няю­щуюся влево, надо изменить на противоположное направ­ление одного из векторов: E или H.

3. Поток энергии в плоской электромагнитной волне. Поскольку волна распространяется в одном направлении, электромагнитная энергия должна распространяться в том же направлении. Поток энергии численно равен количеству энергии, переносимому в одну секунду через квадратный сантиметр, перпендикулярный к направлению распространения волны. Если u  скорость волны, то Р = uw. Согласно соотношению (61.8), в плоской бегу­щей волне плотность электрической энергии равна плотности магнитной, а потому w = еЕ2/4р = мH2/4р, откуда √е Е = √мН. Поэтому w = √(ем)ЕН/4р. Если учесть еще формулу (61.6), то получится

Р = uw = cEH/4р.

Так как волна распространяется в направлении вектора [ЕН], то это выражение совпадает с выражением (60.3).

§62. Стоячие волны

1. Пусть в натянутом шнуре слева направо распространяется поперечная синусоидальная волна о1 = acos (щt - kx). Если изме­нить знак у kx, то получится волна о2 = acos (щt + kx), распро­страняющаяся справа налево. Такую волну можно получить, если отразить от конца шнура первую волну. Поэтому волну о1 можно назвать падающей, а волну о2 – отраженной. Добавочной фазы в выражение для отраженной волны можно не вво­дить, если условиться помещать начало координат в точке шнура, в которой падающая и отраженная волны находятся в одинаковых фазах. Это и предполагается в дальнейшем. Предположим, что отражение полное, т. е. амплитуды падающей и отраженной волн одинаковы. От  наложения таких волн возникает возмущение

о = о1 + о2 = 2acos kx cos щt,  (62.1)

называемое стоячей волной. В этом возмущении каждая точка шну­ра, характеризуемая координа­той x, совершает гармоническое колебание с частотой щ и амплитудой 2acos kx. Амплитуда таких колебаний обращается в нуль в тех точках, где cos kx = 0. Такие точки называются узлами смещения. Посередине между двумя соседними узлами амплитуда колебаний 2acoskx макси­мальна, соответствующие точки называются пучностями смеще­ния. Расстояние ∆х между двумя соседними узлами или пучно­стями определится из условия k∆х = р, откуда ∆х = р/k = л/2. Все точки между двумя сосед­ними узлами колеблются в одина­ковых фазах. Они одновременно проходят через положение рав­новесия и одновременно достигают максимума. При переходе через узел знак о меняется на проти­воположный. Это значит, что при этом фаза колебания скачкообразно изменяется на р. Однако такой скачок не ведет к нарушению непрерывности колебательного процесса, так как он совершается при нулевой амплитуде. Кар­тина колебаний в стоячей волне представлена на рис. 62.1. Две синусоиды на этом рисунке изображают крайние положения, которых достигает шнур при своих колебаниях, стрелками ука­зано направление движения, которое возникнет из этих крайних положений. Узлы смещения как бы разделяют шнур на автоном­ные области, в которых совершаются независимые гармонические колебания. Никакой передачи движения от одной области к дру­гой, а, следовательно, и перетекания энергии через узлы не проис­ходит. Иначе говоря, нет никакого распространения возмущения вдоль шнура. Вот почему возмущение, представляемое выражением (62.I), называется стоячей волной. Заметим еще, что в узлах смещения максимальны производные dо/dx, т. е. деформации шнура, а в пучностях смещения dо/dx = 0. Поэтому узлы смещения явля­ются пучностями деформации, а пучности смещения – узлами деформации.

2. Выше мы рассуждали так, как если бы длина шнура была не ограничена. В этом случае частота щ, а, следовательно, и длина волны л = uT могут быть какими угодно. Не то будет, когда оба конца шнура закреплены (рис. 62.2a). Если в шнуре с закрепленными кон­цами возбудить какое-то произвольное возмущение и затем предо­ставить его самому себе, то это возмущение побежит в обе стороны и начнет отражаться от концов шнура. В шнуре возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных частотах. Дело в том, что на закрепленных концах шнура должны выпол­няться определенные граничные условия: в них смещение о все время должно равняться нулю. Значит, если в шнуре возбуждена стоячая волна, то концы шнура должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине шнура ℓ должно укладываться целое число полуволн: ℓ = n л/2, откуда

  л = 2ℓ/n,  щ = 2рu/л = рun/ℓ.  (62.2)

Целое число n может быть каким угодно. Полу­чает­ся бесконеч­ный набор возможных типов стационарных колебаний, которым соответствует дискретный ряд частот. Эти колебания называются собственными или нормальными колебаниями шнура. Собственное колебание с наинизшей частотой щ = рu/ℓ называется основным колебанием, все остальные собственные колебания – обертонами или гармониками.

Все изложенное справедливо и для коле­ба­ний упругих стерж­ней, как продольных, так и поперечных. Только здесь спектр возможных собствен­ных колебаний богаче. Дело в том, что концы стержня могут быть либо закреплены, лнбо свободны. В первом слу­чае не получается ничего нового по сравнению с натянутым шну­ром. Во втором случае на концах стержня должны быть пучности (рис. 62.2б), а все остальное остается по-старому. Наконец, возмо­жен случай, когда один конец стержня закреплен, а второй сво­боден (рис. 62.2в). В этом случае основному колебанию соответствует длина волны, равная четверти длины стержня. Дли­ны волн прочих собственных колебаний определяются формулой

  ℓ = л/4 + nл/2,  (62.3)

где n – целое число. На рис. 62.2а, б приведены первые два собственных колебания для стержня с закрепленными и свободными концами, а на рис. 62.2в – для стержня, один конец которого закреплен, а другой сво­боден.

3. Все сказанное о стоячих волнах в шнуре и стержнях отно­сится и к электромагнитным волнам. В этом случае, однако, волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно перпендику­лярными векторами E и Н. Пусть волна распространяется в положительном направлении оси X и представляется уравнениями

Ey = E0 cos (щt – kx),  Hz = Н0 cos (щt - kx).

Волну, распространяющуюся в обратном направлении, можно получить отсюда, если изменить знаки у k, и одного из векторов E или Н,  например, магнитного. Это дает

Ey = E0 cos (щt + kx),  Hz = - Н0 cos (щt + kx).