Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 16 )

  jdV = ℑ dℓ,  (27.2)

причем направление вектора dℓ совпадает с направлением тока j. Вектор jdV называется объемным элементом тока, a ℑdℓ – линейным элементом тока.

Из соотношений (27.1) и (27.2) получаем

  dF = (ℑ/c) [dℓ∙B].  (27.3)

Формула (27.3), определяющая силу, действующую в магнитном поле на линейный элемент тока, была установлена Ампером и носит название закона Ампера. Сила, действующая на провод конечной длины, найдется из (27.3) интегрированием по всей длине провода:

    (27.4)

Опишем демонстрационные опыты,  в кото­рых проявляются эти силы. Подвесим на проводах между полюсами подковообразного ма­г­нита (рис. 27.1) металлический стержень AB. При пропуска­нии через него постоянного тока стер­жень от­кло­няется вбок, вытал­ки­ва­ясь из про­странства ме­жду полюсами маг­ни­та или втягива­ясь в него в зависимости от направления тока. При изме­не­нии направления тока или магнитного поля нап­ра­в­ление отклонения меняется  на противопо­ложное.

Колесо Барлоу (1776–862). Возьмем медный диск, который может вра­щаться вокруг гори­зон­тальной оси (рис. 27.2б). Ниж­ний край диска погру­зим в чашку с ртутью. Диск поместим между полюсами маг­­нита перпенди­ку­лярно к маг­нитному полю. При включении постоянного на­пря­жения между осью диска и ртутью по ди­с­ку потечет радиальный ток. Ам­пе­ро­вы силы, действующие на диск, будут приводить его во вращение. При из­ме­не­нии на­пра­­вления то­ка на­пра­в­ление вра­щения также изме­нится.

Описанные опыты доказы­ва­ют, что магниты дей­ству­ют на эле­ктри­ческий ток.

Токи, в свою очередь, дей­ст­ву­ют на магни­т. При­ме­ром слу­­­жит класси­че­с­кий опыт Эрстеда. Он поместил над ма­г­нитной стрел­кой прямолинейный про­­вод (рис. 27.2а), параллельный стрелке. При пропускании по проводу электрического тока стрелка отклоня­лась в сторону и устанавливалась перпендикулярно к проводу. При изменении направления тока стрелка поворачивалась на 180°. To же самое происходило, когда провод переносился вниз и рас­полагался под стрелкой. На этом опыте впервые (1820г.) была установлена связь между электрическими и маг­нитными явлениями.

§28. Эффект Холла

По действию магнитного поля на ток можно определить природу носителей тока. Допустим, что вдоль длинной и тонкой проводящей пластинки течет постоянный ток с плотностью j. Направление этого тока примем за ось X (рис. 28.1). Пусть перпендикулярно к плоскости пластинки при­ложено постоянное однородное магнитное поле B, направленное вдоль оси Z. Если бы носителями тока были поло­жительные частицы, то они двигались бы вместе с током вправо, и сила Лоренца q[vВ]/c отклоняла бы их вниз. Нижний край пластинки стал бы заряжаться положительно, а верхний – отрицательно. Возникшее элек­три­ческое по­ле Eу препятствовало бы отклонению, вызывае­мому магнит­ным полем. Процесс накопления зарядов на нижнем и верхнем краях пла­стинки продолжался бы до тех пор, пока не прекратится течение зарядов поперек пластинки. После этого между противоположными точками 1 и 2 установится поло­жительная разность потен­циалов U ≡ ц1 - ц2. Если носителями тока являются отрицательные частицы, то вместе с током они будут перемещаться влево. Сила Лоренца будет отклонять такие частицы также вниз, так что теперь нижний край стержня зарядится отрицательно, а верхний – положительно. Таким образом, в этом случае поперечная разность потенциалов U будет отрица­тельной. Возникновение поперечной разности потенциалов в магнитном поле было экспериментально обнаружено Холлом (1855–1938) в 1879г., а само явление получило название эффекта Холла.

2. Рассчитаем приближенно разность потенциалов U, пользуясь моделью свободных электронов. Между столкновениями движение частицы, пе­ре­носящей ток, описывается уравнениями

mdvx/dt = e(Ex + vyB/c); mdvy/dt = e(Ey – vxB/c).  (28.1)

Допустим, что магнитное поле B слабое. Тогда поперечное электрическое поле Еу, а также члены, содержащие магнитное поле B, в последних уравнениях можно рассматривать как малые поправки к основной силе eЕх. Для получения решения удобно применить метод последовательных приближений. В нулевом приближении оставляем только главный член еЕх и получаем  vx = eExt/m. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение первого приближения

mdvy/dt = e(Ey – eBExt/mc),

откуда

mvy = e(Eyt – eBExt2/2mc).

Если ф – время свободного пробега, то среднее значение vy между двумя последовательными столкновениями будет

  <vy> = e(Eyф – eBExф2/3mc)/2m.  (28.2)

В установившемся состоянии <vy> = 0, а потому

Ey = eBExф/3mc.

Исключим отсюда Ex с помощью формулы j = ne2Exф/m (см. §21), получим

  Ey = RjB,                 (28.3)

где R = 1/3nec называется постоянной Холла.

Учитывая, что приведенная теория приближенная, нет смысла сохранять численный коэффициент 1/3. Отбросив его, получаем оценочную формулу

  R = 1/nec.  (28.4)

Поперечная разность потенциалов U, вызванная магнитным полем, определяется выражением

  U = RjBd,                 (28.5)

где d –ширина стержня. Зависимость такого типа и была экспериментально установлена Холлом.

§29. Магнитное поле равномерно движущегося заряда

1. Сформулируем теперь закон, определяющий магнитное поле движущегося точечного заряда q, ограничиваясь при этом равно­мерными медленными движениями. Такой закон был получен обобщением опытных фак­тов и выражается  фор­му­лой

где r – радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюде­ния (рис. 29.1), а c′– коэффициент пропорциональ­ности, зависящий от выбора единиц. Электрическое поле неподвижного заряда той же величины q в той же точке наблюдения опреде­ляется выражением

  E = qr/r3.  (29.1)

С использованием этого выражения предыдущая формула может быть записана в виде B = (1/c′)[vE]. В гауссовой системе единиц величины В и E имеют одинаковую размерность. Поэтому постоян­ная c' должна в этой системе иметь размер­ность скорости. Для прос­тоты она выбирается равной постоянной с, введенной в формуле (26.1). Условием с' = с определяется и чис­лен­ное значение с. Так определенная скорость с называется электро­ди­на­мической постоян­ной. Измерения показали, что она совпадает со ско­рос­тью света в вакууме. Таким образом,

    или    (29.2)

2. Используем приведенные формулы для вычисления сил взаимодейст­вия двух движущихся точечных зарядов q1 и q2. Это взаимодействие скла­дывается из электрического (по закону Кулона) и магнитного. Ниже речь идет только о магнитном взаимодействии. Пусть v1 и v2 означают ско­рости движущихся зарядов. Индукция магнитного поля, создаваемого зарядом q1 в точке нахождения заряда q2, будет

где r21 – радиус-вектор, проведенный от первого заряда ко вто­рому. На заряд q2 это поле действует с силой

    (29.4)

Аналогично заряд q2 действует на заряд q1 c силой

    (29.5)

Если скорости v1 и v2 параллельны, одинаково направлены и перпен­дикулярны к вектору r12 (рис. 29.2а), то в случае одноименных зарядов F12 и F21 будут силами притяжения, а в случае разноименных – отталкивания. Величины сил определяются выражением

    (29.6)

В частности, когда ско­рости одинаковы,

  .  (29.7)

Если скорости антипара­л­лельны, то при тех же условиях одноимен­ные за­ряды будут отталкиваться, а раз­нои­мен­ные – при­тя­ги­ваться. В общем слу­чае си­лы маг­нитного взаи­мо­дей­ст­вия не удов­ле­творяют принципу равенства действия и противодей­ствия. Особенно ре­зко нару­ше­ние этого принципа проявляется тогда, когда скорости v1⊥v2, причем скорость v2 направлена вдоль вектора r21. Тогда B2 ~ [v2r12] = 0, так что F12 = 0. Между тем, F21 ≠ 0, как это видно из рис. 29.2б.

Формула (29.7) показы­вает, что отношение силы магнит­ного взаимодействия движущихся зарядов к силе их кулоновского при­тяже­ния или отталкивания порядка (v/c)2. Скорости установив­шегося движения электронов в металлах при прохождении элек­трического тока не превышают нескольких сантиметров в секунду, а в электролитах – еще меньше. Таким образом, отношение (v/c)2 ничтожно и не превышает 10-20. Почему же электродви­гатели приводят в движение именно магнитные (амперовы) силы, по сравнению с которыми силы электростатического взаимодейст­вия не играют никакой роли? Все дело в том, что в переносе тока участвует гро­мадное количество заряженных частиц, и действие магнитного поля на движущийся заряд q опре­деляется не q и v в отдельности, а произведением qv этих величин. Когда течет ток, то заряды противо­положных знаков дви­жутся в противоположных направлениях, так что произведение qv имеет для них один и тот же знак. Силы, действующие в магнитном поле на частицы противоположных знаков, арифметически складываются, а не вычитаются. Точно так же магнитные поля, возбуждаемые движущимися зарядами, зависят от произведения qv, а потому поля противополо­жных зарядов так­же ариф­мети­чески складываются. Совсем иначе ведут себя электрические заряды по отноше­нию к электрическим полям. Силы, действующие на поло­жительные и отрицательные заряды, направлены противоположно, а потому арифметически вычитаются. Как бы ни был велик электрический заряд тела, все же он ничтожно мал по сравнению с суммарным зарядом входящих в него частиц одного знака. Вот почему магнитные силы намного превосходят электрические силы, действующие на нескомпенсированные заряды тел.