Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 20 )

Поскольку вектор В есть индукция магнитного поля, возбуждаемого в вакууме какими-то токами, для него справедливо уравнение

  ∮BdS = 0, или  divB = 0.  (36.1)

Каждое из этих уравнений выражает факт отсутствия магнитных зарядов.

Для вектора В имеет место теорема о циркуляции. Надо только ток про­водимости ℑ дополнить током намагничивания ℑm. Тогда получится

    (36.2)

В формуле (36.2) ℑ и ℑm обозначают полные токи проводимости и на­маг­ничивания, пронизывающие замкнутый контур L.

3. Намагниченность среды принято характеризовать не токами намаг­ничивания, как это сделано выше, а вектором намагничивания I. Так назы­ва­ют средний магнитный момент единицы объ­е­­­ма магнетика, создавае­мый молекуляр­ными то­­ка­ми. Через вектор I мо­ж­но выразить и пло­т­­­ность токов намагничивания в среде.

Допустим сначала, что магнетик имеет форму намагниченного прямого круглого ци­лин­дра, магнитный момент которого направ­лен вдоль его оси (рис. 36.1а). Молекулярные токи в намагниченном магнетике текут согла­сованно, и возбуждаемые ими магнитные поля усиливают друг друга. Если m – средний магнитный момент одной молекулы, то, очевидно,

  I = nm,  (36.3)

где n – среднее число молекул в единице объема. Полный магнит­ный мо­мент всего цилиндра равен VI, где V = SL – объем цилиндра (S - площадь его основания, L – высота). Молекулярные токи соседних молекул в местах их соприкосновения текут в противопо­ложных направле­ниях и макроскопи­чески взаимно компенсируют друг друга. Некомпенсированными остаются только молекулярные токи, выходящие на наружную боковую по­вер­х­ность цилиндра (рис.36.1б). Эти токи складываются в макроскопический поверх­ностный ток ℑm, циркулирующий по боковой поверх­ности цилиндра. Во внешнем пространстве он возбуждает такое же макроскопическое поле, что и молекулярные токи. Этот ток и есть ток намагничи­вания. Его маг­нит­ный момент равен, с одной стороны, ℑmS/c. С другой стороны, тот же маг­нитный момент равен VI = SLI. Таким образом, ℑmS/c = SLI. Так как век­­торы S и I параллельны, то ℑm = cLI. Следовательно, поверхностный ток намагничивания, при­ходящийся на единицу длины цилиндра, равен

  im = cI.  (36.4)

Обобщим теперь результат (36.4) на случай косого цилиндра (рис.36.2). Пусть поверхностные токи намагни­чива­ния текут в пло­скостях, параллельных основаниям цилиндра. Вектор намагни­чивания I будет перпендику­ля­рен к этим основаниям. Если б – угол между вектором I и осью цилиндра, то для магнитного момента последнего мож­но написать VI = SLIcosб. Тот же мо­мент можно представать в виде ℑmS/c = Lim S/c, где im – ток намагничивания, прихо­дя­щийся на единицу длины образу­ющей боко­вой поверхности цилиндра. Приравни­вая оба выражения, получаем

  im = cI cos б = с I.  (36.5)

Здесь – единичный вектор, направленный вдоль оси цилиндра. Таким образом, ток im определяется только осевой состав­ляющей вектора намагни­чивания I. Формула (36.5) и является обобщением форму­лы (36.4). Ее можно применять и в тех случаях, когда магнетик намагничен неод­нородно. В случае неоднородной намагниченности в магнетике возникают не только поверхностные, но и объемные токи намагничивания.

§37. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе

1. Найдем циркуляцию вектора B по любому замкнутому кон­туру вну­т­ри магнетика. Для этого вычислим ток намагничивания ℑm, про­низываю­щий этот контур. Натянем на контур L произвольную поверхность S. Одни моле­кулярные токи пересекают поверхность S два­жды: раз в положительном и раз в отри­цательном напра­влении (рис. 37.1). Такие токи не вносят никакого вклада в ток намагничивания через поверх­ность S. Дру­гие молеку­ляр­ные токи обвиваются вокруг контура L. Каждый из них пересекает поверхность толь­ко  один  раз – противоположно направленный ток в мо­ле­куле вы­хо­дит уже за пределы поверхности S. Такие молеку­ляр­ные токи и создают макроско­пи­ческий ток намаг­ни­чи­ва­ния ℑm, пронизывающий площадь S.

Выразим ток ℑm через вектор намагничивания I. Для этого окружим контур L бесконечно узкой трубкой (рис. 37.2). Сог­ласно формуле (36.5), по по­верхности такой трубки циркули­рует ток намагничивания с линейной плот­ностью im = сI. Он только один раз пересекает по­верхность S. Ток, приходящийся на элемент длины dℓ трубки, равен imdℓ = c Idℓ. Полный ток намагни­чивания, про­ни­зы­вающий поверхность S, найдется интегрированием этого выражения по всему замкнутому контуру L. Это дает

  ℑm = c ∮ Idℓ.  (37.1)

Внеся это выражение в формулу (37.2), придадим ей вид

  ∮(B − 4рI) dℓ = 4рℑ/с.  (37.2)

В дифференциальной форме:

  rotB = 4р (j + c rotI)/c.  (37.3)

Сравнивая это уравнение с уравнением (37.2), находим

  jm = c rotI.  (37.4)

Если намагниченность однородна, т. е. I = const, то jm = 0. Если же она неоднородна, то объемная плотность тока намагничивания, вообще говоря, отлична от нуля.

2. Введем теперь вспомогательный вектор

  H = B - 4рI.  (37.5)

Тогда формулы (37.2) и (37.3) примут вид

  ∮Hdℓ = 4рℑ/с,  (37.6)

  rotH = 4рj/с.  (37.7)

После введения вектора H из уравнений (37.6) и (37.7) выпа­дают токи намагничивания, остаются только токи проводимости. В этом смысл вве­де­ния вектора H. Вектор H играет в учении о маг­нетизме такую же вспомога­тельную роль, что и вектор D в уче­нии о диэлектриках. Основным вектором является вектор В. Это – силовой вектор, и его следовало бы называть напря­женностью магнитного поля в веществе. Однако по историчес­ким причинам напряженностью магнитного поля в веществе называют вектор H, а вектор B получил неудачное название магнитной индукции. В вакууме векторы B и H тождественно совпадают.

Согласно определению (37.5), векторы В и H имеют одина­ковую раз­мерность. Они должны иметь и общую единицу. Едини­цей B в гауссовой сис­теме является гаусс. Та же единица приме­няется и для измерения H. Одна­ко в этом случае ее называют эрстедом. Величину B измеряют в гаус­сах, а величину H – в эрсте­дах. Между гауссом и эрстедом абсолютно нет никакой разницы. Следовало бы сохранить только одно из этих названий: либо гаусс, либо эрстед.

§38. Граничные условия для векторов B и H

1. Из уравнений (37.1) и (37.6) легко получить условия, кото­рым должны удовлетворять векторы B и H на границе раздела двух магнетиков. Уравнение (37.1) формально не отличается от соответствующего уравнения для вектора электрической индук­ции D при отсутствии электрических зарядов. Отсюда следует, что на границе раздела нормальные слагающие вектора В должны быть непрерывны:

  В1n = В2n.  (38.1)

Перейдем к выводу граничных условий для вектора H. В целях общнос­ти будем предполагать, что вдоль границы раздела (перпендикулярная к плоскости рисунка плоскость O, O1) течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i. При­меним теорему о циркуляции (37.6) к малому прямоугольному контуру ABCD (рис. 38.1), высота которого пренебре­жимо мала по сравнению с дли­ной основания ℓ. Тогда можно пре­небречь вкладом в циркуляцию, который вносят боковые стороны AB и CD. В этом приближении циркуляция вектора H будет (H2ф – H1ф) ℓ.  По теореме о циркуляции та же величина равна 4рℓiN/c, где iN – составляющая тока вдоль нормали N контура ABCD. Приравнивая оба выражения, получим

  H2ф – H1ф = 4рiN/c.  (38.2)

Если на  границе сред ток проводи­мости не течет, то

  H2ф – H1ф = 0,  (38.3)

т. е. тангенциальные слагающие век­тора H на границе раздела непре­рывны.

§39. Магнитная восприимчивость и магнитная

проницаемость

1.  Железо и все так называемые ферромагнитные вещества обладают не только сильными магнитными свойствами. Они характеризу­ются весьма сложной зависимостью между векторами I и H. Эта зависимость нели­ней­ная. Кроме того, для указанных веществ наблюдается гистерезис, т. е. зави­симость намагничивания от предшествующей истории магнетика. Только для парамагнитных и диамагнитных сред зависимость между I и H линейная и для изотропных сред может быть записана в виде

  I = кH.  (39.1)

Подставляя выражение (39.1) в соотношение (37.5), получим

  B = мH,  (39.2)

где

м = 1 + 4рк.  (39.3)

Величина к называется магнитной восприимчивостью, a м – магнитной проницаемостью вещества. Тела, для которых к > 0 и, следовательно, м > 1, называются парамагнитными или пара­магнетиками. К ним относятся, на­при­мер, кислород, алюминий, платина, хлористое железо (FeCls) и т. д. Тела, для которых к < 0 и, следовательно, м < 1, называются диамагнитными или диамагнетиками. Таковыми являются азот, углекислота, вода, серебро, вис­мут и пр. Парамагнетики намагничиваются вдоль, а диамагнетики – проти­во­по­лож­но магнитному полю.