Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 39 )

Добротность некоторого колебательного контура Q = 10. Опре­де­лить относительное изменение час­тоты свободных колеба­ний кон­тура щ от собственной часто­ты контура щ0. Собственная частота колебаний некоторого кон­тура н0 = 8 кГц, добротность контура Q =72. В контуре возбуждают затухающие колебания. а) Найти закон убывания запасенной в контуре энергии W со временем t. б) Какая часть первоначальной энергии W0 сохранится в контуре по истече­нии времени ф =1мс? Какой должна быть добротность контура Q, чтобы частота, при которой наступает резонанс токов, отличалась от частоты, при которой наступает резонанс напряжений, не более чем на 1%? Емкость цепи, изображенной на рис. 2.34, С = 103пФ, индуктивность L =1мГн. На точки А и B подается одновременно два переменных напряжения одинаковой ампли­туды, но различной частоты: частота первого напря­жения совпадает с собственной частотой контура (щ1 = щ0), частота второго напряжения превышает собст­венную на 10% (щ2=1,1щ0). Найти отношение амплитуд токов ℑ1/ℑ2, возбуждае­мых в контуре обоими напряжениями, для случаев, когда добротность контура Q равна: а) 100, б) 10.

Упругие волны

Какую волну – продольную или поперечную – описывает уравнение �� = а cos (щt - kx)? Упругая волна переходит из среды, в которой фа­зовая скорость волны равна v, в среду, в которой фазовая скорость в 2 раза больше. Что происходит при этом с часто­той волны щ и длиной волны л? Вдоль оси x в среде бежит плоская волна с дли­ной л. Чему равно наименьшее расстояние Дx между точ­ками среды, в которых колебания совершаются в противофазе?

На рис. 2.38 дано распределение, в момент t, смеще­ний о частиц среды, в которой распростра­няется вдоль оси x упругая волна. Указать направления скоростей частиц в точках A, B и C в случае: а) продольной волны, б) попе­речной волны, колебания в которой происходят в плос­кости рисунка. В однородной среде распространяется плоская уп­ругая волна, описываемая уравнением ��=ae-��xсоs(щt–kх). Положив x =1м и г =0,1 м-1, найти раз­ность фаз дц в точках, для которых отношение амплитуд смещения частиц среды з = l,01. Какие данные содержит в себе комплексная ампли­туда? Два когерентных колебания одинакового направ­ления характе­ри­зуются комплексными амплитудами A1 = 5exp(iр/6) и A2 = 6exp(iр/3). Найти комплексную ампли­туду A результирующего коле­бания. Написать уравнение цилиндрической гармониче­ской волны, излучаемой источником в виде бесконечной прямой нити. Физическая величина удовлетворяет уравнению fx′′ = (1/б)ft′′,  где �� – постоянная величина, числовое значение которой в СИ равно 1,44·108. а) Определить из вида уравнения размерность величи­ны  б. б) Что можно  утверждать относи­тель­но величины f? Что описывает уравнение вида о = f(щt - kx), где f – некоторая функция, щ и k – константы? Какой смысл имеет величина щ/k? Определить скорость продольных v∥ и поперечных v⊥ упругих волн в золоте. Плотность золота с=19,Зг/см3, модуль Юнга Е = 7,8ˑ1010 Па, модуль сдвига K = 2,7·1010 Па. На рис. 2.46 дана «моментальная фотография» сме­щений частиц в бегущей волне. 1. Указать места, в которых деформация среды: а) от­сутст­вует, б) максимальна. 2. Чему равна (нулю, отлична от нуля, мак­си­мальна) плотность кинетической, потенциальной и полной энергии в точках: а) А и С, б) В и D?

В упругой среде распространяется продольная плоская волна о = a cos(щt-kx). Изобразить для t = 0 один под другим примерные графики зависимости смещения о от x и зависимости плотности среды с от x. На рис. 2.46 дан график смещений о в бегущей вол­не для некоторого момента времени t. Нарисовать под этим графиком примерный график плотности энергии w для того же момента t. В упругой среде плотности с бежит вдоль оси x волна о = acos(щt – kx+��). Написать выражение для век­тора Пойтинга Р (вектора плотности потока энергии). Что представляет собой поток вектора Пойтинга че­рез некото­рую поверхность S? По трубе сечения S бежит плоская затухающая волна, амплитуда которой  убывает по закону exp (–гx). В сечении с координатой x1 среднее (по времени) значение модуля вектора Пойтинга равно Р. Какое количество энергии W поглощается за время t, много большее периода волны, в объеме, заключенном между сечениями с координатами x1 и х2? По какому закону убывает с расстоянием r от ис­точника интенсивность затухающей а) сферической, б) ци­линдрической волны? От двух точечных когерентных источников распро­страняются по поверхности воды две волны. Какую форму имеют линии, для которых амплитуда колебаний макси­мальна?

Электромагнитные волны

В вакууме распространяется вдоль одной из коор­динатных осей плоская электромагнитная волна. Написать возможные выражения (через параметры волны и орт одной из осей) для волнового вектора k в случае, если: а) вектор E = Eеy, частота волны равна щ, б) вектор H = Hеz, длина волны равна л. В однородной и изотропной среде с е = 3 и м = 1 распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электричес­ко­го поля волны Em = 10В/м. Найти: а)  амплитуду напряженности магнитного поля волны Нm, б) фазовую скорость  волны  v. Электромагнитная волна распространяется в вакууме вдоль оси х. В точке А в некоторый момент модуль плотности тока смещения j* = 160 мкА/м2. Найти в точке А в тот же момент модуль производной |∂Е/∂х|. Плоская электромагнитная волна частоты н = 10 МГц распространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостью л = 10 мСм/м и диэлектрической проницаемостью е = 9. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения. Плоская электромагнитная волна Е = Emcos(щt - kr) распространяется в вакууме. Считая векторы Еm и k известными, найти вектор Н как функцию времени t в точке с радиусом-вектором r = 0. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна Е = ezEmcos(щt - кх), где ez – орт оси у, Еm = 160В/м, к = 0,51м-1. Найти вектор Н в точке с координатой х = 7,7м в момент: a) t = 0; б) Т = 33 нс. Распространяющаяся в вакууме плоская электромагнитная  волна, описываемая уравнениями E = Emcos(щt - kx), H = Hmcos(��t - kx), отражается от плоскости, перпендикулярной к оси x. Напи­сать уравнения, описывающие отраженную волну. Рассмотреть суперпозицию двух плоских электро­магнит­ных волн, распространяющихся вдоль оси x в про­тиво­по­ложных направлениях. Определить координаты пучностей хпуч и узлов хузл для а) элек­трического вектора E и б) магнитного вектора H возникшей в результате суперпозиции стоячей волны. Для упрощения формул начальную фазу в уравнениях прямой и обратной волн считать равной нулю. Сравнить результаты, получен­ные для E и H. Как соотносятся фазы колебаний векторов E и H? В некоторой среде распространяется электромаг­нитная волна частоты щ. Диэлектрическая проницаемость среды при частоте щ равна е = 2, магнитная проницае­мость практически равна единице. Найти вектор Пойтинга Р в той точке, в которой электрический вектор изменяется по закону E = 10 cos(щt+б)ez (В/м). Вектор H колеблется вдоль оси  x. В вакууме распространяется плоская электромаг­нитная волна с щ ≈ 1010 с-1. Амплитуда электриче­ского вектора волны E = 0,775 В/м. На пути волны распо­лагается поглощающая волну поверхность, имеющая форму полусферы радиуса r = 0,632 м, обращенная своей вершиной в сторону распространений волны. Какую энер­гию W поглощает эта поверхность за время ф = lc? В вакууме распространяется вдоль оси x плоская электромаг­нитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны Hm = 0,05 А/м. Определить: а)  амплитуду напряженности электрического поля волны Em, б)  среднюю по времени плотность энергии волны <w>, в)  интенсивность волны ��, г) среднюю по времени плотность импульса волны. Описанная в предыдущей задаче волна падает по нормали на поверхность тела, полностью поглощающего волну. Чему равно давление p, оказываемое волной на тело? В вакууме распространяется вдоль оси x плоская электромаг­нитная волна E = Em cos(щt - kx). Найти средний вектор Пойтинга. В вакууме в направлении оси x установилась стоячая электромагнитная волна, электрическая составляющая которой Е = Emcos kx cos щt. Найти магнитную составляющую волны В (x, t). Изобразить примерную картину распределения электрической и магнитной составляющих волны (Е и В) в моменты t = 0 и t = T/4, где T — период колебаний. Переменный синусоидальный ток частоты щ = 1000 рад/с течет по обмотке прямого соленоида, радиус сечения которого R = 6,0 см. Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри соленоида. Найти среднюю мощность излучения электрона, совершающего гармонические колебания с амплитудой a = 0,10 нм и частотой щ = 6,5·1014 рад/с. Плоская электромагнитная волна с частотой н = 10 МГц распространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостью л = 10мСм/м и диэлектрической проницаемостью е = 9. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения.

ОТВЕТЫ

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Fe/Fg = 4,2·1042. a = 2,5·108м/с2. m′p=l·86·10-9кг ≈ 1018mp, где mp масса протона. q⨀ =1, 7·1020Кл, q⨁ = 5, 13·1014Kл. q/m = 0,86·10-10 Кл/кг=1,6·10-22e/me. а) ц = 6q/а; Е= 0; б) ц = 0,  E = 0. ц = 4рRу, E = 0. ц = 6, 8·105 В, E = 0. ц = 2рRу, E = ру. Систему равноотстоящих параллельных друг другу плоскостей. ц = –Ex + const. а) Да, является, б) ц = - E1x–E2y–E3z +const. а) Нет, не является, б) ц(r)=a/2r. а) Поле центрально-симметрично. б) E = 2ц'· √(x2+y2+z2). а) Поле осесимметрично; б) E = [(∂ц/∂r)2 + (∂ц/r∂и)2]1/2 . a) E = 2 (ахi +ауj + bzk), Е = 2[a2(x2+y2)+b2z2]1/2. б)  Эллипсоид вращения c полуосями:  √��/а, √��/а, √��/b, в) Эллипсоид вращения с полуосями: E/2a, E/2a, E/2b. a) E = -2 (ахi +ауj - bzk), Е = 2[a2(x2+y2) +b2z2]1/2.  б)  При ц > 0 – однополостный гиперболоид вращения, при ц = 0 – прямой круговой конус, при ц < 0 – двуполостный гиперболоид вра­щения. в) Эллипсоид вращения. ц = pcosи/r2; E = (p/r3)√(1+3cos2и). p не зависит от начала, относительно  которой он берется. A = 2pE. F=2,1·10-10 H. E= 2фa/r√(a2+r2). �� = ф ln(r+a)/(r-a); E =2фa/(r2 – a2); r≫a: ц = q/r, E = q/r2. Е = 2ф/r. а) ц = q/√(x2+r2), E = qx/(x2+r2)3/2i; б)  Для x = 0: ц = q/r, E = 0; для |x|≫r: ц = q/|x|,  E ≈ ц = qsgnx/x2;  в) Fm = 1,93·104 В/м, xm = ±42,4мм. г) Точки хт являются точками перегиба. ц = 2q/r2[√(x2+r2)–|x|], E = 2q[sgnx – x/√(x2+r2)]/r2. |x|≫r : поле точечного заряда; б) ц = 75 кВ, E = 0,53 мB/м. ц = 2q/r2[√(x2+b2) - √(x2+a2)]/( b2 - a2), E = 2qx[1/√(x2+a2) - 1/√(x2+b2)]. При |x|≫b – поле точечного заряда. E = 2ру sgnx. a = b√3, r = 2b. a) ∇[f (x)i] = df/dx; b) ∇r = 3;  ) ∇er = 2/r;  )∇[f(r)er] =2f/r +df/dr. a) ∇a = 0, б) Фа = 0. Фr = 4рR3. Фа = ∮adУ = ∫∇adV = ∫f(r)4рr2dr. Ф1 = - Ф2. Нулю. с = (l + 4y + 9z2)/4р. с = A exp (-бr) (2/r-б)/4р. а) – г) [∇a]=0. Нет, не может – это поле не потенциально. а) [∇E] = 2ak, б) C = 2a��b2. а) Ех =2руx/|x|,  б) ц = - 2ру|x|+ const,  в) Нет, нельзя. Да, может, если абсолютная величина плотностей зарядов
пластин различна. EA=100i (В/м); ЕB = 300i (В/м); ЕC = -100i (В/м). E = 2ф/r. а) E = 2ф/r, ц = -2фlnr/r0; б) E = 3,6 кВ/м, ц = – 83 кВ;  в) нельзя. F = 8,1 Н/м, A = 0,112 Дж/м. а) E = 0; б) ц = const внутри сферы; в) ц = 4��R��. Е = 4рсr/3, ц = 2рс(R2- r2/3). E = 2рбr/r. E = (4рс0r/3бr3) [l - exp(-бr3)]. При больших r: E ~1/r2, при малых r: E ~ r. P = (е - l) D/4ре. a) E уменьшается в е раз, б) D остается неизменным, в) U уменьшается в е раз. a) E = 50 В/м, D = 0,885 нКл/м2, б) P = 0, 44 нКл/м2, в) у'= ± 0, 44 нКл/м2. <с'> = (P1 - P2)/a. a) ∇E = - E0k/(е1+kx)2, где k=(е2 - е1)/а, б) ФE = SE0[2/(е1+е2) -1], в) с' = - E0k/4р(е1+kx)2. с' = - 0,59 мкКл/м3. На выделяемой поверхностью S части пластины: а) q=0, б) qp >0. При |x|<а: ц = 2рсx2/е, Ех = 4��сх/��, при |х|>a: ц = –[2рса2/е + 4рса (| x | - a), Ex = 4рса x/|x|). а) P = (l - l/е)сxi, б) у' = (1 - 1/е)сa, в) с' = -(1-1/е)с. а) Ex = (4рсx/е|x|) [1 - exp(-б|x|)], б) с' = – (1-1/е) с0exp (-б|x|). F = q2/(2a)2 = 0,36 мН. у = - qa/2р(a2 + x2)3/2, qинд = - q. a) E1 = E2 = E, D1 = D, D2 = ��D, б) E1 = E2 = 2E/(l+е), D1 = 2D/(l+е), D2 =2еD/(1+е). Густота линий D во всем зазоре одина­кова, линии D в части зазора 2 в е раз гуще, чем в части зазора 1. а) E1 = 2еE/(l+е), E2 = 2E/(l + е), D1 = D2 = 2еD/(l+е). б) E1=E, E2 = E/��, D1=D2=D. Густота линий D во всем зазоре одинакова, линии E в части зазора 2 в е раз  реже, чем в части зазора 1. C = 4, 4 нФ. С = еl/21n(r2/r1). C = ��r1r2/(r2-r1). C =100 пФ. a) C =∑Ck ;  б) C=1/∑(1/Ck). C = 10 пФ. C1 и C2 – параллельно, соединить последова­тельно с C3. U1 = 200 В, U2=100 В, q=20 нКл, C=66 пФ. C = е/4ln(b/a) = 9 пФ/м. С ≈ еа/2 = С′/2, С′ – емкость шара радиуса а. C = 0,58 пФ. W = 2,3·10-25 Дж. а) W= -2,6-10-18Дж = -16эВ, б) W= -1,6·106Дж = -1025эВ. а) W = q2(√2+4)/a, 6) W = q2(√2 - 4)/a,  в) W = q2√2/a, W = (1/2)∑∑qiqk/|ri – rk|. W = (1/2)∫с(r′)dV′∫[с(r)/|r-r′|]dV. a) W = q2/2r = 4,5 нДж; b) з = 0,99, R = 2см. a) W = 3q2/5r = 5,4 нДж; 6) W1 = W/6 = 0,9 нДж, в) W2 = 5W/6 = 4,5 нДж. A = 0,9 нДж. A =2��q2∆x/��S=11,3 мкДж. а) w увеличивается в е раз, б) w уменьшается в �� раз. a) R = l/∑ (1/Rk). b) R = ∑ Rk. R1 и R2 – параллельно, соединить последова­тельно с R3. R= R1/2 + (R12/4 + R1R2)1/2 = 4 Ом. R = сS(x)' 12 м. R = (с/2рd) ln (b/a). a) ℑ = (q0/RC) exp(-t/RC), б) q = 0,18 мКл, в) Q = 92мДж. Q = CU2/2. R = с/2рa =2R', где R' – сопротивление между шариком радиуса а и концентрической сферической оболочкой большого радиуса r (r≫a). a) q = q0exp(- 4��лl/��), b) Q = q02(b-a)/2еab. Может, если на участке действует э. д.с, равная ℑR. ц1- ц2 = - 4,5В. B = 4,8 мТл. ℑ = 24 кА. Fм = 2,3·10-28Н =10-6Fе= (v/с)2Fe. a) B = 6,3 мкТл, б) B = 2,3 мкТл. B = 1/2B∞, где B∞ = 2ℑ/cb – магнитная индукция на расстоянии b от прямого тока. B = 5, 5 мкТл. B = 8,9 мкТл. H = [jr]/2 – для r<R, H = (R2/r2) [jr| для r ≥ R. B = 26 пТл. L = 2mR2щ/5,  pm = qR2щ/5, pm/L = q/2m. F = 4 нН. F = 6мкН, A=0,33мкДж. j(r) = (3б/2р)rk. B увеличится в м раз, H останется прежним. В = В0; H = H0/м, где Н0 – напряженность внешнего  поля. а) ФB = 0, ФH = 4рSB0(1/м2-1/м1).? ФB = 0, ФH = 4рSB0(1-1/м). а) и в) пo часовой стрелке, б) и г) против часовой стрелки. а) Против часовой стрелки, б) q = B��a2/R. F = Q/v. U = 5,3 мВ. a) U = 2 нВ, б) U=33 мВ. H = 400 кА/м. L = l,3 мГн. ℑ = Bvsinб/R1(l+sinб)=const – против часовой стрелки. v = mgR(sinб - kcosб)/B2l2. �� = mg (sin б - k cos б)/(m+CB2l2) = const. a) ℑ = (mg/Bb)cosщt, 6) ℰ = 1/2Bb2щ + (mgR/Bb)cosщt. a) ф1 = 0,58c, 6) ф2 =2ф1 = l,16c.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ