Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 14 )

  R = сℓ/S.  (23.4)

Таким образом,

  ц1- ц2 + = ℑR.  (23.5)

При выводе формулы (23.5) предполагалось, что провод тонкий на протяжении всей своей длины, включая участок, где находится гальванический элемент. Последнее условие, как пра­вило, почти никогда не соблюдается. Тем не менее форму­ла (23.5) справедлива и в этом случае.

2. Формула (23.5) выражает закон Ома в интегральной форме в отличие от соотношения (22.1), представляющего тот же закон в локальной форме. Эту формулу называют также зако­ном Ома для участка цепи. Поня­т­но, что R есть сопро­тивление всего участка, включая сопротивление самого элемента. Если участок не содержит гальванического элемента (на нем не действуют сто­ронние силы), то формула (23.5) принимает вид

  ц1- ц2 = ℑR.  (23.6)

Разность потенциалов в этом случае называется напряжением на концах провода. В общем случае напряжение определяется как интеграл ∫Edℓ, взятый вдоль длины провода. Такое определение годится и в тех случаях, когда электрическое поле не потенциально.

Если начальная и конечная точки 1, 2 совпадают, то (23.5) переходит в закон Ома для замкнутой цепи:

          = ℑR.  (23.7)

Здесь R означает уже полное сопроти­вление всей цепи. Если ца - потенциал анода, а цк – катода, то ца - цк = Rеℑ, где Re – сопро­тивление всего внешнего участка цепи. Сравнивая это соотношение с (23.7), получим

        (ца - цк)/ = Rе/R = Rе/(Rе + Ri),  (23.8)

где Ri – внутреннее сопротивление самого элемента. Отсюда сле­­дует, что все­гда, когда по цепи течет ток, разность потенциалов между полюсами эле­мента ца - цк меньше электродвижущей силы. Только в предельном слу­чае, когда Re →∞ (следовательно, ℑ → 0), получается = ца - цк. Значит, электродвижущую силу можно определишь как разность по­тен­циалов между полюсами ра­зомкнутого источника тока.

3. Практической единицей тока является ампер (А). Это есть сила тока, при котором через поперечное сечение провода ежесекундно проходит один кулон электричества. Практическая единица напряжения, или разности потенциалов, есть вольт (В). Он определяется как разность потенциалов, при прохож­дении которой над зарядом в один кулон совершается работа в один джоуль. Прак­ти­чес­кая единица сопротивления есть ом (Ом), т. e. сопро­тив­ле­ние такого провода, по которому потечет ток в один ампер, если на его концах поддерживать разность потен­циалов в один вольт:

Ом = В/А = (1/9) ·10-11 CGSER.

4. Рассмотрим n проводов, соединенных параллельно (рис. 23.2). Предположим, что в проводах действуют электродвижущие силы k.  Если Rk - сопро­тив­ле­ние  k –того про­во­да (с вну­­тренним сопротивлением элемента), то ток в нем оп­ределяется выражением

ℑk = (ц1- ц2)/Rk +k/Rk.

Сложив эти выражения, получим полный ток в цепи:

  ℑ = (ц1- ц2)/R + /R,  (23.9)

где введены обозначения:

  1/R = ∑1/Rk,  (23.10)

  = R∑ k/Rk.  (23.11)

Формула (23.10) определяет сопротивление параллельно соединен­ных проводов. Величина (23.11) – электро­дви­жущая сила батареи. Если Rk – внутренние со­противления элементов, то формула (23.11) бу­дет определять электродвижущую силу батареи парал­лельно соединенных эле­ментов. Если все эле­менты одинаковы, то = к – электродвижущая сила ба­тареи равна электродвижущей силе одного элемента.

5. Закон Джоуля-Ленца в инте­граль­ной форме получается из диффе­рен­циальной формы этого закона интегрированием по объему провода. Представив элемент объема в виде dV = Sdℓ, получим

          Q = ∫qdV = ∫(j2/л)Sdℓ = ℑ2∫(лS)-1dℓ = ℑ2R.  (23.12)

Это и есть интегральная форма закона Джоуля-Ленца. Формула (23.12) определяет тепло, выделяющееся ежесекундно в рассматри­ваемом участке провода. Если взять всю замкнутую цепь, то с учетом (23.7) получим

Q = ℑ = ℑ∮Eсторdℓ.

Отсюда видно, что тепло производится од­ними только сторонними силами. Роль электрического поля сво­дится к тому, что оно перераспределяет  это тепло по различным участкам цепи.

§24. Правила Кирхгофа

Рассмотрим произвольную разветвленную сеть проводов, в от­дельных участках которой включены гальванические элементы или другие источники тока. Электродвижущие силы этих источников постоянны и предполагаются известными. Токи во всех участках цепи и разности потенциалов на них можно рассчитать с помощью закона Ома (23.5) и закона сохранения электрического заряда. Однако более просто задача решается с помощью двух правил Кирх­гофа. Одно из них выражает закон сохранения электрического заряда для линейных проводов, а другое является следствием закона Ома.

Первое правило Кирхгофа. В каждой точке раз­ветвления проводов алгебраическая сумма сил токов равна нулю. Токи, идущие к точке разветвления, и токи, исходящие из нее, следует считать величинами разных знаков (pис. 24.1):

  ∑ℑk = ℑ1 + ℑ2 - ℑ3 = 0.  (24.1)

Если бы это правило не соблюдалось, то в точках разветвления проводов накапливались бы электрические заряды, меняющиеся во времени. Вместе с ними менялось бы во времени и электрическое поле, а потому то­ки не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа. Выделим в се­ти произвольный замкну­тый контур, состоящий из проводов. Сум­ма электродвижущих сил, действующих в таком контуре, равна сумме произведений сил токов в отдельных участках этого кон­тура на их сопротивления.

Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда кон­тур состоит из трех участков (рис. 24.2). Применяя к ним закон Ома (23.5), можем написать

ц2- ц3 + 1 = ℑ1R1,  ц3- ц1 + 2 = ℑ2R2,  ц1- ц3 + 3 = ℑ3R3.

Складывая эти равенства, получим

       1 + 2 + 3 = ℑ1R1 + ℑ2R2 + ℑ3R3,         (24.2)

т. е. второе правило Кирхгофа.

Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную си­с­тему линейных уравнений, из которой могут быть най­дены все неизвестные токи.

При применении правил Кирхгофа надо поступать следующим образом:

1) Направления токов во всех участ­ках сети  следует обозначить стрелка­ми, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить. Если вычисление покажет, что ток положителен, то его направление указано правиль­но. Если же ток отрицателен, то его истинное направление противоположно направлению стрелки.

2) Выбрав произвольный замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном направлении. Если это направление совпа­дает с направлением стрелки, то слагаемое Rℑ берется со знаком плюс. Если же эти направления противоположны, то оно берется со знаком минус. Если при обходе контура источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному, то его электродви­жущую силу следует считать положительной, в противном случае ее надо считать отрицательной.

§25. Гальванические элементы и аккумуляторы1

В §22 установили, что без сторонних сил, нельзя получить длитель­ный электрический ток. Рассмотренный там пример сторонней силы, в качестве центробежной силы, имел иллюстративный характер и в практике не может быть применен. Здесь кратко рассмотрим процессы, происходящие в источниках постоянного тока – в галь­ванических элементах и аккумуля­торах.

Если кусок какого-либо металла, например, цинка, погру­зить в во­ду, то в первый момент такая система не будет находиться в равновесии. Кристаллическая решетка цинка состоит из поло­жительных ионов Zn++. Под влиянием полярных молекул воды ионы цинка, отрываясь от металла, начнут переходить в слой воды, примыкающий к поверхности погружен­ного куска. В резуль­тате этого цинк зарядится отрицательно, а вода – положительно. На границе металл–вода образуется тонкий поверхностный слой, на­зы­ваемый двойным электрическим слоем, в котором возникнет элек­три­чес­кое поле, направленное от воды к металлу. Это поле будет пре­пятст­вовать переходу ионов металла в воду и способ­ствовать возвра­щению их обратно в металл. Установится динамическое равновесие, в кото­ром число ионов, переходящих из ме­талла в воду, будет в среднем равно числу ионов, возвращающихся обратно из воды в металл. To же самое про­и­зойдет, если металл погрузить в водный раствор соли того же металла, например, цинк в раствор цинкового купороса ZnS04. Последний в растворе диссо­циирует на ионы Zn++ и SO4--. Ионы цинка Zn++, получив­шиеся в раст­воре в результате электратитической диссоциации, конечно, ничем не отличаются от таких же ионов, перешедших в раствор от куска цинка. Повы­ше­ние концентрации ионов Zn++ в растворе, очевидно, облегчает переход этих ионов в металл и затрудняет обратный переход ионов Zn++ из металла в раствор. Поэтому в рас­творе цинкового купороса цинк хотя и зарядится отри­ца­тельно, но слабее, чем в чистой воде. Равновесная разность потенциа­лов, которая установится между металлом и раствором, будет зависеть от температуры, давления, а также от концентрации раствора. Однако при од­ной и той же концентрации ионов металла в растворе она не будет зависеть от наличия в растворе других ионов, если только последние не осаждаются на металле, т. е. не участвуют в процессе обмена ионами между раствором и металлом. Напри­мер, погрузив цинк сначала в раствор ZnS04, a затем в раствор ZnCl2, мы получим в обоих случаях при одинаковой концентрации ионов Zn++ одну и ту же разность потенциалов между цинком и раствором.

При погружении металла в раствор соли того же металла, металл не всегда заряжается отрицательно. Например, если кусок меди погрузить в раствор медного купороса CuS04, то ионы Сu++  начнут осаждаться на меди, заряжая ее положительно. Двойной элек­трический слой на границе меди с раствором будет теперь обра­щен положительными  зарядами к меди, а отрицательными  – к раствору. Электрическое поле в таком слое будет направлено от меди к раствору. В установившемся состоянии медь окажется заря­женной положительно, а раствор – отрицательно.