Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 32 )

  ∆Ц = k(x2 – x1).

Если эта разность равна 2рn, n = ±1, ±2, т. е. эти точки находятся друг от друга на расстоянии, кратном л, то они совершают одина­ковoе движе­ние.

Геометрическое место точек, в которых в данный момент времени частицы имеют одинаковую фазу, называется волновой поверхностью или фрон­том волны. По виду волнового фронта волны подразделяются на плоские, цилиндрические, сферические и другие. Например, одномерная гармоническая волна – плоская волна, так как при Ц = const, t = const получаем

которая есть уравнение плоскости, проходящей через точку x, перпендикулярно направлению распространения волны.

Цилиндрическую волну можно возбудить, создавая гармонические колебания на какой-либо оси бесконечной среды. Уравнение цилиндрической волны имеет вид

    (59.9)

Сферическую волну можно возбудить, создавая гармонические колебания в какой-либо точке бесконечной среды. Уравнением сферической волны является

          (59.10)

В выражениях (59.9) и (59.10) r – расстояние рассматриваемой точки от источника волны. Заметим, что амплитуды цилиндрической и сферической волн убывают даже в случае отсутствия поглощения. Это следует из закона сохранения энергии.

Дифференцируя выражение фазы волны (59.8), считая ее постоянной, получим щdt – kdx = 0, откуда

    (59.11)

Значит, u – скорость распространения фронта волны, которая называется фазовой скоростью волны.

Нетрудно убедиться, что выражения (59.6), (59.9) и (59.10) удовле­тво­ряют уравнению

,                         (59.12)

которое называется волновым уравнением, где ∆ – оператор Лапласа.

Общее решение волнового уравнения представляет собой сумму двух произвольных бегущих волн, распространяющихся в противоположных на­правлениях со скоростью u:

о(r, t) = f1(r – ut) + f2(r + ut),                 (59.13)

где f1, f2 – произвольные функции, вид которых определяется начальными (или граничными) условиями.

§60. Энергия волны. Вектор Пойтинга.

Источник волн, деформируя примыкающие к нему объемы, непрерывно передает им энергию, которая перемещает волну в среде.

Определим изменение энергии элементарного объема dV упругого стержня, обусловленного распространением плоской продольной волны (59.6). В качестве объема dV выберем вдоль распространения волны элементарный цилиндр длины dx и с площадью основания S, такой, чтобы заключенные в него все частицы колебались в одной фазе. Кинетическая энергия, приобретенная им в волновом поле о(x, t), будет равна

  .  (60.1)

Изменение потенциальной энергии равно упругой энергии, обусловленной относительной деформацией е элементарного цилиндра 

            (60.2)

где E – модуль Юнга. С другой стороны, пользуясь выражением (58.6) для  о  и тем, что

  и  ,

получим

    (60.3)

где для получения двух последних выражений мы воспользовались формулами (59.11) и (59.2'). Подставляя (60.3) в (60.2), будем иметь

          .  (60.4)

Это свойство характерно для любой одномерной бегущей волны.

Изменение полной механической энергии рассматриваемого элементарного объема из-за распространения волны будет

.

Отсюда для плотности энергии синусоидальной волны будем иметь

  .  (60.5)

Значит, кинетическая и потенциальная энергии волнового движения – это периодические функции, колеблющиеся в одинаковой фазе и зависящие от x, t, с одинаковыми амплитудами, равными сА2щ2/2. Эти закономерности верны для любой упругой волны независимо от вида волнового фронта и деформации, так как они обусловлены механизмом распространения упругой волны. Важно заметить, что полная механическая энергия волнового движения в любом объеме dV периодически меняется во времени. Это и есть основное энергетическое различие колебательных и волновых движений, поскольку в первом полная энергия постоянна (изменения кинетической и потенциальной энергий происходят в противоположных фазах). Распространение волны в упругой среде неразрывно связано с процессом передачи энергии от одних участков среды к другим. Именно поэтому при волновом движении объемная плотность энергии периодически меняется со временем в каждой точке среды.

Волна переносит энергию. Скорость распространения энергии в волне равна скорости поверхности, на которой плотность энергии имеет наиболь­шее значение. В плоской гармонической волне, как следует из формулы

,

поверхность, на которой w = wmax, имеет вид щt-kx+�� = 0, скорость распространения которой совпадает с фазовой скоростью волны u=щ/k. В общем случае скорость переноса энергии иg, которая называется групповой скоростью волны, не совпадает с ее фазовой скоростью, которая может быть даже больше скорости света. Для синусоидальной волны групповая и фазовая скорости совпадают.

Скорость переноса энергии волной в среде характеризуется вектором Умова-Пойтинга или вектором плотности потока энергии. Это энергия, переносимая через единичную площадь, перпендикулярную направлению распространения волны, за единицу времени:

    (60.6)

где dW – энергия, перенесенная волной через площадь dS за время dt. Понятно, что она равна энергии, заключенной в заштрихованной области (рис. 60.1):

.

Учитывая последнее выражение в (60.6), получим

  Р = wu:  (60.7)

вектор Пойтинга равен произведению плотности энергии волны на скорость ее распространения.

§61. Плоские электромагнитные волны

1. Из уравнений Максвелла следует существование принципиально нового физического явления, предсказанного самим Максвеллом. Это – электромагнитные волны, или возмущения электрического и магнитного поля, распространяющиеся в пространстве с определенной скоростью. Убедимся в этом в простейшем одномерном случае.

Пусть в неограниченной однородной среде распространя­ется без поглощения какое-то электромагнитное возмущение. Отсут­ствие поглощения означает, что при любом возмущении в среде не выделяется джоулево тепло. Следовательно, величина jE = лE2 должна обращаться в нуль, каково бы ни было поле E. Это воз­можно тогда и только тогда, когда л = 0, т. е. когда среда явля­ется диэлектриком. Допустим, кроме того, что объемных электри­ческих зарядов в среде нет. Тогда уравнения Максвелла примут вид

    (61.1)

Рассмотрим частный случай, когда все величины зависят только от x и t. В координатной форме уравнения (58.1) представятся в виде

    (61.2)

Из последних четырех уравнений следует, что Dx и Вx не зави­сят от x и t, т. e. величины постоянные. Это – статические поля, накладывающиеся на переменное поле электромагнитного возму­щения. Они не влияют на рас­про­странение возмущения и могут быть отброшены без ущерба для общности. Оставшиеся четыре уравнения распадаются на две группы независимых уравнений. В одну из них входят y - составляющие электрического поля и z – coставляющие магнитного поля, в другую – z – составляющие элек­три­че­ско­го и y – составляющие магнитного поля. Обе эти группы однотип­ны, а потому можно ограничиться рассмотрением одной из них. В качестве таковой возьмем систему уравнений, содержа­щую Ey и Hz. С помощью соотношений D = еE и В = мH преобра­зуем ее к виду

    (61.3)

причем мы опустили индексы у и z, предполагая, что век­тор E направлен по оси Y, а вектор Н – вдоль Z. Дифференцируя первое уравнение по t, а второе по z, и исключая Н, находим

    (61.4)

Аналогично,

    (61.5)

где введено обозначение

  u = c/√ем.  (61.6)

Таким образом, векторы E и H удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению. Этo доказывает, что рассматриваемое возму­щение состоит из плоских волн, распространяющихся со ско­ростью u, параллельно оси X. Возмущение поперечно, т. е. век­торы E и H перпендикулярны к оси Х, вдоль которой происходит распространение. Возьмем волну, распро­стра­няющуюся в поло­жительном направлении оси X: