Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 30 )

Случай 3. Цепь не содержит катушки самоиндукции и омического сопротивления. В этом случае

Z = - i/щC,  ℰ = - i ℑ/щC = (ℑ0/щC) ei(щt – р/2).  (56.4)

Отсюда видно, что ток опережает по фазе напряжение на р/2 (рис. 56.1). Ампли­туда тока связана с амплитудой напряжения соотношением ℑ0=щCℰ0. Величина 1/щC называется емкостным сопротивлением. Емкостное сопротивление тем меньше, чем больше емкость конденсатора.

2. Исследуем теперь общий случай, когда R, L, C произвольны. Импе­данс Z представим в виде

Z = сeiд,

где с u д – вещественны. Тогда

ℑ = ℰ/Z = (ℰ0/с) ei(щt – д),

или в вещественной форме

ℑ = (ℰ0/с) cos(щt – д).

Ток отстает по фазе от напряжения на д. Для вычисления с, д воспользуемся формулой (56.2). Она дает

сeiд = R + i(щL – 1/щC).

Приравнивая вещественные и мнимые части,  получим

  с2 = R2 + (щL – 1/щC)2,  tg д = (щL – 1/щC)/R.  (56.5)

В результате получаем

    (56.6)

Эта формула совместно с формулой (56.5) выражает закон Ома для пе­рe­менных токов в вещественной форме. В комплексной форме этот закон

ℑ = ℰ/[R + i(щL – 1/щC)]

более компактен и лучше приспособлен для вычислений.

Квадратный корень, стоящий в знаменателе формулы (56.6), называется полным сопротивлением цепи. Омическое сопротивле­ние R называют активным сопротивле­нием, а величину щL – 1/щC – реактивным со­пр­оти­влением.

В методе векторных диаграмм все падения напряжения должны рассматриваться не как числа, а как векторы. Падение напряжения на оми­ческом сопротивлении Rℑ откладывается вдоль оси X, падения напряжения на катушке самоиндукции ℑщL и конденсаторе ℑ/щС – вдоль оси У: первое в положительном, второе – в отрицательном направлениях (рис. 56.1). Векторная диаграмма позволяет определить амплитуду и фазу колебаний из прямоугольного треугольника ОАВ.

3. Правила Кирхгофа для переменны токов. К переменным токам без всяких изменений применимо первое правило Кирхгофа. Второе правило Кирх­гофа также применимо к синусоидальным переменным токам, если оми­­ческие сопротивления R всюду заменить соответствую­щими комплек­с­ными сопротивлениями (импедансами) Z.

Все результаты, полученные формальным применением правил Кирхгофа к постоянным токам, в комплексной форме сохраняют силу и для установившихся синусоидальных токов. Например, при параллельном соединении нескольких комплексных сопротив­лений результирующее комплексное сопротивление определяется формулой 1/Z = ∑1/Zk и т. д. 

§57. Эффективные напряжение и ток

1. Сдвиг фаз между током и напряжением влияет на работу и мощность переменного тока. Работа, совершаемая электро­движущей силой ℰ за время dt, определяется выражением дA = ℰdq, где dq – заряд, прошедший через поперечное сечение провода за это время. Мгновенная мощность будет

  N = ℰdq/dt = ℰℑ.  (57.1)

Обозначим через ℰ* и ℑ* величины, комплексно сопряженные с ℰ и ℑ. Тогда

Re ℰ = Ѕ(ℰ + ℰ*),  Rе ℑ = Ѕ(ℑ + ℑ*).

Подставляя эти вещественные величины в формулу (57.1), получим

N = ј (ℰℑ* + ℰ*ℑ) + ј (ℰℑ + ℰ*ℑ*).  (57.2)

Принимая ℰ = ℰ0еiщt,  ℑ = ℑ0еi(щt–д) и восполь­зуясь формулой cosб = Ѕ(eiб + е-iб), получим

N = Ѕ ℰ0ℑ0cosд + Ѕ ℰ0ℑ0cos(2щt – д).

Второе слагаемое в последней формуле быстро колеблется во времени с удвоенной частотой 2щ. Среднее значение его по времени равно нулю. Первое слагаемое от времени не зависит и дает среднюю мощность переменного тока:

<N> = Ѕ ℰ0ℑ0cosд.  (57.3)

Величины ℰ0 и ℑ0 называются амплитудными значениями напряжения и тока. Вместо них в электротехнике чаще употребляют эффек­тивные или действующие значения, определяемые выражениями

  (57.4)

Для синусоидальных токов

  ℰef  = ℰ0/√2,  ℑef  =  ℑ0/√2.  (57.5)

С введением этих величин формула для средней мощности перемен­ного тока принимает вид

  N = ℰef  ℑef cosд.  (57.6)

2. Аналогичным образом разность фаз д сказывается на вза­имодейст­вии переменных токов. Рассмотрим, например, переменные токи ℑ1 и ℑ2, те­ку­щие вдоль бесконечно длинных прямолинейных проводов, находящихся на расстоянии r друг от друга. Мгновенная сила, действующая на единицу длины каждого провода, опреде­ляется выражением

F = 2м ℑ1 ℑ2/cr.

Если токи синусоидальны, а сдвиг фаз между ними равен д, то для сред­­ней силы отсюда находим

  <F> = (2м/cr) ℑ1ef ℑ2ef cosд.  (57.7)

В зависимости от разности фаз д средняя сила может быть либо силой притяжения, либо силой отталкивания. Если д = р/2, то <F> = 0.

§58. Колебания связанных систем

Система с двумя и более степенями свободы, в которой имеются связи, обеспечивающие обмен энергией между ее разными частями, называется связанной системой. На рис. 58.1а, б приведены простейшие примеры связанных механических систем. Если на рис. 58.1а система наделена двумя степенями свободы, то на рис. 58.1б – четырьмя степенями свободы, так как любой из шариков может колебаться как в плоскости рисунка, так и в перпендикулярном к ней направлении.

В общем случае движение связанной системы носит довольно сложный характер. Например, отклонив какой-либо из шариков на рис. 58.1б в произвольном направлении, мы вызовем также смещение другого шарика. В результате получим сложную картину движения, в течение которого будет происходить перенос энергии от одного шара к другому и наоборот. Такие движения называются связанными колебаниями.

Несмотря на показанную сложность, связанные колебания всегда можно представить как наложение гармонических колебаний числом, равным числу степеней свободы системы. Эти гармонические колебания называются нормальными колебаниями системы.

В рассматриваемом случае нормальные колебания связанных маятников соответствуют следующим случаям:

а) в плоскости рисунка маятники отклонены в одном и том же направлении на один и тот же угол;

б) то же самое в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка.

В указанных двух случаях маятники будут колебаться с собственной частотой, так как пружина в этих движениях не играет никакой роли. Две другие нормальные колебания образуются, когда:

в) шары отклоняются в плоскости рисунка в противоположных направлениях на одинаковые углы;

г) то же самое в перпендикулярной плоскости.

Любое движение связанных систем есть наложение этих нормальных колебаний.

Обсудим подробно движение системы с двумя степенями свободы, представленной на рис. 58.1а. Наверху показана система в состоянии равновесия, внизу – положение шаров в произвольный момент времени.

Введем обозначения: y1 = x1 – x10; y2 = x2 – x20, которые являются отклонениями шаров от их положений равновесия. Каждое из уравнений движения шаров

благодаря наличию соединяющей их пружины, содержит координаты обоих шаров. Представим эти уравнения в виде

    (58.1)

где  a11 = (k1 + k12)/m1; a21 = - k12/m2; a12 = - k12/m1; a22 = (k2 + k12)/m2.

2. Рассмотрим электрические колебания в двух колебательных контурах, индуктивно связанных между собою (рис. 58.2). Будем считать, что нет омических сопро­ти­влений и внешних сил, действующих на систему. Поскольку колебания в одном контуре влияют на колебания в другом, они являются связан­ны­ми колебаниями. Такие коле­бания описы­ва­ют­ся дифферен­циаль­ными ура­внениями

Q1/C1 + L1dℑ1/dt + L12 dℑ2/dt = 0,

Q2/C2 + L2dℑ2/dt + L21 dℑ1/dt = 0.

Учитывая, что ℑ = dQ/dt, и разрешив эти уравнения относительно производных, приведем их к виду

    (58.2) 

где

a11 = L2/C1(L1L2 – L12L21);  a12 = - L12/C2(L1L2 – L12L21);

a21 = - L21/C1(L1L2 – L12L21);  a22 = L1/C2(L1L2 – L12L21).

Мы видим, что в обоих случаях колебания описываются однотипными системами линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. К уравнениям такого же типа приводилась задача о малых колебаниях механических систем с двумя степенями свободы, например, двух связанных маятников (58.1). Целесообразно рассмотреть все эти колебания совместно. Поэтому мы не будем конкретизировать колебательную систему, а предположим только, что ее конфигурация определяется какими-то координатами y1 и y2, подчиняющимися системе дифференциальных уравнений (58.1), где aik – постоянные коэффициенты. Значения этих коэффициентов, как и смысл координат y1 и y2, устанавливаются в каждом конкретном случае в отдельности.

2. Представим частное решение системы уравнений (58.1) в виде:

  y1 = A1eiщt,  y2 = A2e iщt,  (58.3)

где А1 и A2 – постоянные. После подстановки в (58.1), получаем

  (a11- щ2) А1 + a12A.2 = 0,

  a21A1 + (a22- щ2) А2 = 0.  (58.4)