Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 3 )

Размерность заряда в этой системе определяется формулой

[CGSEq] = [F1/2L] = M1/2L3/2T-1,

а  размерность напряженности  электрического  поля –

[CGSEE] = [Fq-1] = M1/2L-1/2T-1.

За единицу заряда принимается величина такого точечного заряда, который действует на такой же точечный заряд в ваку­у­ме с силой в одну дину, если расстояние между зарядами равно одному сантиметру. За еди­ни­цу напряженности электричес­ко­го поля при­нимается напряженность такого поля в вакууме, кото­рое действует на единичный точечный заряд с силой в одну дину. Эти единицы не получили специальных названий. Их просто на­зы­вают электроста­тическими единицами заряда (CGSEq) и напряженности (CGSEE) электри­ческого поля.

Практической единицей заряда является кулон (Кл). По точному определению кулон есть десятая доля CGSMq заря­да или при­близительно

Кл = 3·109 CGSEq.

Кулон – боль­­шая единица. Два точечных заряда в один кулон каждый, уда­лен­ные друг от друга на расстояние 1 км, взаимодействуют с силой

F = q2/r2 = 9 1018 10-10 дин = 9·103 H.

4. В векторной форме закон Кулона записывается так:

    (1.4)

где Fik – сила, действующая на заряд qi со стороны заряда qk, rik = ri – rk – радиус-вектор, проведенный от заряда qk к заряду qi (рис. 1.1). Напряженность поля точечного заряда qi дается выражением

        ,  (1.5)

где ri  – радиус-вектор, проведенный от заряда qi в рассматривае­мую точку, к которой относится значение поля Ei.

3. Напряженность электрического поля E нескольких непод­виж­ных точечных зарядов q1, q2…qi... равна векторной сумме напряженностей по­лей, которые создавали бы каждый из этих зарядов в отсутствие остальных:

    (1.6)

Это положение, являющееся обобщением опытных фактов, называется принципом суперпозиции и является следствием принципа независимости действия сил (том 1, §7)  Возможно, прин­цип суперпозиции нарушается на малых расстоя­ниях порядка размеров атомных ядер (10-13 см) и меньше.

Формула (1.6) позволяет в принципе рассчитать напря­жен­ность элек­трического поля любой системы неподвижных заря­дов. Если в теле заряд распределен непрерывно, то следует мы­с­ленно разделить тело на малые части, чтобы каждую из них можно было считать точечным зарядом. При этом сумма (1.6) пере­ходит в интеграл.

Для наглядного изображения электриче­ских полей ши­роко поль­зу­ют­ся силовыми линиями. Силовая линия есть математическая линия, направление касательной к которой в каждой точке, через кото­рую она проходит, со­

впадает с направлением вектора E в этой точке. За положительное нап­рав­ле­ние силовой ли­­нии счи­та­ется напра­в­ление самого вектора E. При этом мож­но сказать, что электричес­кие силовые линии начинаются от положитель­ных

зарядов и оканчиваются на отрицательных. На рис. 1.2 изо­бра­жены сило­вые ли­нии равно­мер­но за­ря­жен­ных ша­ри­ков – поло­жительного и от­ри­ца­тель­ного, а на рис. 1.3 –

двух разно­именных и однои­м­ен­ных зарядов рав­ных вели­чин.

Для экспериментального воспроизведения сило­вых линий берут стеклянный со­суд с плоским дном и наливают в него какую-либо изолирующую жидкость, например касторовое масло, глицерин и т. п. В жид­кости по воз­мож­ности равномерно распределя­ются истертые в порошок кристаллики гипса, асбеста, частицы манной крупы или какие-либо другие продолго­ва­тые частицы. В жидкость погружаются металлические элек­тро­ды. При соединении их с источ­никами электричества возбуж­да­ется электрическое поле. В этом поле частицы элек­три­зу­ют­ся через влияние и, притягиваясь разноименно наэлектризован­ными концами, распо­лагаются в виде цепочек вдоль силовых линий (рис.1.4).

§ 2. Электрический диполь

1. Простейшей системой точечных зарядов является элек­три­ческий диполь (двойной полюс). Так называется совокуп­ность рав­ных по величине, но противоположных по знаку двух точеч­ных зарядов - q и +q, сдвинутых друг от друга на некоторое расстояние (рис. 2.1). Пусть ℓ – радиус-вектор, про­ве­ден­ный от отрицательного заряда к положительному. Это направление называют осью диполя. Вектор p = qℓ назы­вается электрическим моментом диполя или ди­польным моментом. Если длина ℓ пренебрежимо мала по сравне­нию с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь на­зы­вается точечным. Для точечного диполя безразлично, от какой точки диполя отсчиты­ва­ется расстоя­ние r до точки наблюдения. Вычислим электрическое поле точеч­но­го диполя.

Пусть сначала точка наблюдения A ле­жит на про­дол­жении оси диполя (рис.  2.2). Напряженность электри­че­с­ко­го по­ля в этой точке будет

где r = (r1 + r2)/2, или В век­торной форме

    (2.1)

Допустим теперь, что точка наблюдения A лежит на перпен­дикуляре к оси диполя из его центра O (рис. 2.3). Вектор E полу­ча­ется геометрическим сложением полей E1 и Е2  возбуж­даемых точечными зарядами - q и +q. Как видно из рисунка, вектор E антипараллелен p, а его длина (для точечного диполя) равна

E = (q/r2) (ℓ/r) = p/r3.

В векторной форме:

    (2.2)

В принятом приближении формула (2.2) остается верной и тогда, когда за O принята любая точка диполя. Ее можно выбрать даже вне диполя. Важно только, чтобы ее расстояние до центра диполя было пренебре­жимо мало по сравнению с рас­сто­я­нием до точки наблюдения.

Общий случай сводится к разобранным част­ным случаям. Опустим из заряда +q пер­пен­дикуляр CD на ли­нию наблюдения BA (рис. 2.4). Поместим в точке D два точечных заряда: +q и - q. Это не изменит поля. Но полученную систему че­тырех зарядов можно рассмат­ри­вать как совокуп­ность двух диполей с дипольными моментами p1 и р2, изо­браженными на рис. 2.4. Вообще, при вычислении на­пряженности поля, а также сил, дей­ствующих на ди­поль, последний всегда можно за­ме­нить системой лю­бого числа диполей, геоме­три­че­ская сумма моментов которых равна моменту рассматриваемого диполя. Применяя теперь к дипо­лям р1 и р2 формулы (2.1) и (2.2), по­лучим

Е = (2p1 - р2)/r3

или, исключая p2 с помощью соотношения p1 + р2 = p: E = (3p1 – p)/r3, или, учитывая, что р1 есть проекция вектора  р на r: p1 = (pr)r/r2, находим

          (2.3)

2. Рассмотрим теперь силы, действую­щие на диполь в элек­трическом поле. Если поле однородно, то результирующая сила F равна нулю, так как силы F1 и F2, действующие на отрицательный и положительный заряды ди­поля, равны по величине и противоположны по направ­лению (рис. 2.5). Момент этих сил M = [ℓF2] = q[ℓE], или

        M = [pE].  (2.4)

Момент M стремится повернуть ось диполя в направлении поля E. Сущест­вуют два положения рав­новесия диполя: когда диполь парал­лелен электрическому полю и когда он антипараллелен ему. Первое положение устойчиво, второе – неустой­чиво. Формула (2.4) верна также для точечного диполя в неоднородном поле. Если поле неоднородно, то сила F = F1 + F2,  вообще говоря, не обращается в нуль. В этом случае F = q(E2 – E1), где E1 = E(r) и Е2 = E(r + ℓ)  – напряженности поля в точках нахож­дения зарядов - q и +q. Для точечного диполя разность E2 – E1 можно при­ближенно заменить дифференциалом (ℓ��)E, где �� – набла оператор. В этом приближении

F = (p∇) E  (2.5)

В частности, если ось X направить вдоль вектора p (рх = p), то

F = p∂E/∂x.  (2.6)

3. Нейтральная система точечных зарядов, занимающая не­боль­шой объем, в первом приближении ведет себя как точеч­ный диполь. Действительно, разделим мысленно заряды систе­мы на более мелкие части, при этом так, чтобы каждому заряду соответствовал рав­ный заряд противоположного знака. Сгруп­пировав такие заряды по­парно, можно рассматривать нашу сис­тему как систему диполей pi. При вычис­лении поля на расстоя­ни­ях, больших по сравнению с размерами системы, такие диполи мож­но считать точечными. Их можно перенести в одну точку и векторно сложить в один точеч­ный диполь с мо­мен­том p = Уpi. Так же можно посту­пать при  вы­числении сил, действующих на сис­тему  зарядов  во  внеш­нем электри­чес­ком поле. Необходимо только, чтобы размеры системы были на­столько малы, чтобы во всех точках занимаемого ею объема внешнее поле E и его пространственные производные ��E/��x, ��E/��y, ��E/��z могли с достаточ­ной точностью считаться одина­ковыми.