Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 9 )

Если полый диэлектрик с большой диэлектрической про­ни­цае­мостью внести в электрическое поле, то из-за преломления сило­вые линии скон­цен­трируются преимущественно в стен­ках диэлек­трика. Внутри полости они рас­положатся редко. Эго зна­чит, что поле в полости будет ослаблено по сравнению с наруж­ным полем. Полость внутри диэлектрика, таким обра­зом, обладает экранирующим действием. В этом отношении она ведет себя ана­логично полости в металле. Однако, в отли­чие от металла, экрани­рова­ние диэлектрика не полное. Чем боль­­ше диэлектрическая проницаемость, тем сильнее экранирующее действие.

§13. Потенциал электростатического поля

В курсе механики было показано, что кулоновские силы консерва­тивны, т. е. работа, совершаемая этими силами на перемещение заряда, выражаемая криволинейным интегралом

A1,2 = ∫qEdr,

не зависит от формы траектории, а зависит от начального и ко­неч­ного положений r1 и r2. Поэтому, создаваемое кулонов­скими силами силовое поле – электростатическое поле – потен­циальное. В частности, на перемещение заряда q поле непод­вижного точечного заряда Q совершает работу

А1,2 = qQ(1/r1 – 1/r2) = - ∆(qQ/ r).  (13.1)

Доказанное справедливо для электрического поля любой си­стемы не­под­вижных точечных зарядов. Это непосредственно следует из принципа су­перпозиции электрических полей и из теоремы механики, согласно которой работа резуль­тирующей силы равна сумме работ составляющих сил.

В общем случае любую систему зарядов можно мысленно разделить на достаточно малые части, каждая из которых мо­жет рассма­триваться как точечный заряд. В число таких заря­дов должны быть включены и индуци­рованные заряды на про­водниках и диэлек­триках. Поэтому всякое электро­стати­чес­кое поле, независимо от того, создается оно в вакууме или в ве­щес­тве, является полем потенциальным. Это было бы очевидно, если бы микрополя Emic возбуждались неподвижными заряда­ми. Тогда макроскопи­ческое поле, как результат усред­не­ния Emic, было бы также потенциально. Однако электроны и атом­ные ядра движутся, а электрические микрополя не потен­циаль­ны. Но мы не будем обосновывать электро­статику с помощью уравнений микрополей. Наконец, макроскопические уравнения Максвелла устанавли­ва­ются постулативно. А из них, как будет видно в дальней­шем, не­посредствен­но следует, что электростатичес­кое макрополе потенциально.

2. Необходимым и достаточным условием потенциальности силового поля, как было показано в курсе механики, является равенство нулю работы сил поля на перемещение частицы по любому замкнутому контуру. Для элек­тростатического поля это означает

  ∮Edr = 0.  (13.2)

Этот интеграл называется циркуляцией вектора E по замкнутому контуру.

Уравнение (13.2) есть второе из фундаментальных уравне­ний электро­ста­тики, о которых говорилось в §12.

3. Из уравнения (13.2) следует, что силовые линии элек­т­ростатичес­кого поля не могут быть замкнутыми. Для дока­за­тельства допустим про­тив­­­ное. Пусть силовая линия замкну­та. Возьмем ее в качестве контура инте­грирования. При обходе этого кон­тура в положительном направлении сило­вой линии, подынтеграль­ное выражение в (13.2), а с ним и сам интеграл, су­ще­ст­венно положительны. Это противоречит урав­не­нию (13.2), что и доказывает наше утверждение.

4. С помощью формулы (13.2) можно строго доказать граничное условие (4.10) – непрерывность тангенциальной составляющей вектора Е на границе раздела двух сред. Для этого расположим бесконечно малый прямоуголь­ный контур ABCD так, чтобы AD и BC проходили по разные стороны границы раздела двух сред (pиc. 13.1). Применяя к нему формулу (13.2) и считая боковые стороны AB и CD бесконечно короткими, т. е. пренебрегая их вкладом в циркуляцию вектора Е, получим

∮Edr = (E2ф – E1ф)ℓ = 0,

откуда получаем 

E2ф = E1ф.

Здесь E1ф, E2ф – касательные к разделу двух сред составляющие вектора Е, ℓ – длина AD, или равной ей стороны BC.

5. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q по произвольному пути из начальной точки 1 в конечную точку 2, как работа консервативной силы, можно пред­с­та­вить в виде убыли потенциальной энер­гии U(r) заряда:

  A1,2 = - ∆U = U1 – U2.  (13.3)

Экспериментально установлено, что потенциальная энергия заряда пропорциональна его величине, т. е. отношение

  U(r)/q ≡ ц(r)  (13.4)

не зависит от q и является энергетической характеристикой электрического поля. Скалярная функция  ц(r) называется потен­циалом элек­тростатичес­ко­го поля и представляет потенциальную энер­гию единичного положитель­ного заряда в данной точке поля.

Как известно из курса механики, потенциальная энергия определяется с точностью аддитивной постоянной, и что эта неопределенность устраняется ее нормировкой, т. е. выбором нулевого уровня потенциала. В теоретической физике за нулевой потенциал удобно принимать потенциал бесконечно удаленной точ­ки. На прак­тике за нулевой потенциал обычно прини­мают потенциал Земли.

С учетом (13.4) формула (13.3) принимает вид

  А12 = q(ц1 – ц2).  (13.5)

Из формул (13.1) и (13.5) следует, что потенциал поля точечного заряда Q выражается формулой

  ц(r) = Q/r,  (13.6)

где нулевой уровень потенциала связан с бесконечно удаленной точкой. Потенциал поля произвольно распреде­ленного заряда получается в виде суперпозиции потенциалов точечных зарядов:

  ц = ∑цi =  ∑qi/ri  → ∫(1/r)dq = ∫(с/r)dV,  (13.7)

где сумма соответствует дискретному, а интеграл – непрерывному распределению зарядов, с – объемная их плотность.

В гауссовой и CGSE-системах единиц за единицу потенциала прини­мае­тся разность потенциалов между такими двумя точками, что при пере­мещении одного CGSEq заряда из одной точки в другую, электрическое поле со­вер­шает работу в один эрг. Эту единицу мы обозначим как CGSEц. Она не имеет спе­циаль­ного названия. Практической единицей потен­циала является вольт (В). Вольт есть разность потенциалов между такими точками, когда при перемеще­нии одного кулона элек­три­чества из одной точки в другую электри­ческое поле совер­шает работу в один джоуль. Приближенно

В = Дж/Кл = l07 эрг/3·109CGSEq = (1/300)CGSE��.

6. Связь потенциала с напряженностью электрического поля. В курсе механики мы показали, что силовая (F) и энергетическая (U) характеристики потенциального поля эквивалентны, и получили формулу, связывающую эти величины:

F = - ∇U ≡ - gradU.

Разделяя обе стороны этого соотношения на величину пробного заряда q и учитывая определения вектора напряжен­нос­ти и потенциала, получим формулу

  E = - ∇ц ≡ - gradц,  (13.8)

связывающую вектор E с потенциалом ц электрического поля.

Произвольное векторное поле E характеризуется тремя ска­лярными функциями – проекциями Ex, Ey, Еz. Потенциальность накладывает на поле столь сильное ограничение, что для его характеристики достаточно одной скалярной функции, а имен­но потенциала ц(x, у,z). Зная эту функцию, можно вычислить напряженность поля по формуле (13.8), или

  Ex = - ∂ц/∂x;  Ey = - ∂ц/∂y;  Ez = - ∂ц/∂z.  (13.9)

Формулы (13.8), (13.9) показывают, что напряжен­ность поля имеет раз­мерность потенциала, деленного на длину. На практике напряженность по­ля E часто выражают в вольтах на сантиметр или в вольтах на метр. При­ближенно

В/см = CGSEц/300 ,  В/м = CGSEц/30000.

По известному вектору Е напряженности поля потен­циал мож­но определить по формуле

  ц(r) = ∫Еdr,  (13.10)

где интегрирование производится от рассматривае­мой точки r до нулевого уровня потенциала.

7. Для выяснения геометрического смысла гра­диента введем понятие эквипотенциальной поверхности – это поверх­ность, на которой по­тен­циал остается постоянным. Возьмем на этой поверхно­сти произвольную точ­ку O и введем ло­кальную систему координат с началом в этой точке (pиc. 13.2). Ось Z направим по нормали к эквипотенциальной поверхно­сти в сторону возрастания потенциала ц. To же направление примем за положительное направление нормали n. Координатная плоскость XY, очевидно, совмес­тит­ся с касательной плоскостью к эквипотенциальной поверхности. Тогда в точке 0 имеем ∂ц/∂x = ∂ц/∂y = 0, а ∂ц/∂z = ∂ц/∂n. Поэтому

  ∇ц ≡ gradц = (∂ц/∂n)n.  (13.11)

Функция ц возрастает наиболее быстро в направлении нормали n. Поэтому можно дать следующее определение. Градиент функции есть вектор, направленный в сторону максимального воз­растания этой функции.

§14. Задача математической электростатики

Если известен потенциал ц как функция пространственных координат, то его дифференцированием можно вычислить напря­женность электрического поля по формуле (13.8). Зная диэлектри­ческую проницаемость, можно затем определить вектор индукции D = ��E и по теореме Гаусса (10.5) найти объемную плотность свободных зарядов с. Поверхностная плотность сво­бод­ных заря­дов найдется по скачку нормальной составляющей вектора D из соотношения (11.1).