Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 13 )

§21. Вывод законов Ома и Джоуля - Ленца

1. Будем предполагать в этом параграфе, что электри­че­ское поле E может меняться во времени. Рассмотрим сначала ме­тал­лы, хотя наши рассуждения в основном справедливы и в случае дру­гих проводящих сред (электролитов, ионизованных газов и пр.). В металлах носителями тока служат «свободные электроны», т. е. электроны, слабо связанные с ионами кристалличе­ской решетки, внутри которой они могут свободно перемеща­ться. В отсутствие электрического поля или других регулярных сил, действующих на электроны, все направле­ния движения последних равно­вероятны. В этом отношении дви­жение электронов в металле напоминает тепло­вое движение моле­кул газа. Назовем такое движение беспорядочным, а соответствую­щую ему скорость электронов будем обозначать через vб.

2. Вывод закона Ома. При наличии регулярной силы на беспорядочное движение электронов накладывается упорядоченное движе­ние. Если поле регулярных сил однородно, то все свободные электроны движутся с одной и той же средней скоростью, обозначае­мой ниже через u. Полная скорость электрона будет: v = vб + u. Движение электрона в классической механике описывается уравнением

  md(vб + u)/dt = F + Fст,  (21.1) 

где F – регулярная сила, действующая на электрон со стороны внешнего силового поля, а Fст – сила, которую он испытывает при столкновениях с ионами или другими электронами. Если урав­нение (21.1) усреднить по всем электронам, то произ­водная dvб/dt обратится в нуль, а сила Fст заменится ее средним значением <Fст>. Заметим, что при таком усреднении столкно­вения между электронами можно не принимать во внимание, так как они (столкновения) не влияют на полный импульс всей системы электронов. Таким образом, под Fст следует пони­мать силы, действующие на электроны при их столкновениях с ионами кристаллической решетки. При отсутствии среднего движения сила <Fст> обращается в нуль. При малых направленных скоростях величину Fст можно разложить пo степеням u и ограничиться линейным членом:

  Fcт = - mu/ф,  (21.2)

где ф – постоянная, имеющая размерность времени. В этом приближении уравнение для упорядоченного движения электрона при­­ни­мает вид

  mdu/dt + mu/ф = F.  (21.3)

Сила Fст, а с ней и время ф обусловлены инерцией электронов. Поэтому величину ф можно назвать инерционным временем элек­трона в металле. По порядку величины ф сравним со средним временем свободного пробега эле­ктрона.

Предположим, что в проводнике, по которому течет постоянный ток (т. е. в нем электроны совершают упорядоченное движение со скоростью u = u0), в момент времени t = 0 регулярную силу отключили: F = 0. Тогда, из уравнения (21.3) получаем

  u = u0e-t/ф,  (21.4)

т. е. при отключении внешних регулярных сил скорость упорядочен­ного движения за время ф убывает в ℯ раз.

Воспользуясь соотношением j = neu и введя обозна­че­ние

  л = ne2ф/m,  (21.5)

преобразуем уравнение (21.3) к виду

  j + фdj/dt = лF/e.  (21.6)

Если регулярная сила F и коэффициент л постоянны, то из (21.6) получаем

  j = лF/e +  j0e-t/ф. 

При t≫ф второй член исчезает, тогда получаем

  j = лF/e.  (21.7)

Все полученные соотношения верны независимо от природы регуляр­ной силы F, возбуждающей электрический ток. Если ток возбуждается эле­ктри­ческим полем, то F = eE. Тогда соотно­шение (21.7) переходит в закон Ома (20.1).

Численные оценки величин для меди в нормальных условиях таковы: электропроводность – л = 3,5·1017с-1, концентрация свободных электронов  – n = сN/A  ≈ 8,5·1022см-3 – если считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон (А = 63 – атомный вес, N – число Авогадро, с=8,9г/см3) инерционное время электрона вычисляется с помощью формулы (21.5) – ф = m л/ne2 ≈ 2,5·10-14с. 

2. Вывод закона Джоуля-Ленца. Над электроном, движущимся со ско­ростью v в однородном силовом поле, ежесекундно совершается работа (u + vб)F. При суммировании по всем электронам члены vбF дают нуль. Оста­ется только работа регулярной силы на упоря­дочен­ное движение электронов. Эта работа, совершаемая над электронами единицы объема металла, равна nuF = jF/e. В металлах она идет на прира­щение внутренней (тепловой) энергии, поскольку прохождение электрического тока не сопровождается изменения­ми внутренней структуры металла. Таким обра­зом, мощность тепла, выделяемого током в единице объема про­водника, дается выражениями

q = (jF)/e = лF2/e2,  (21.8)

или

  q = j2/л.  (21.9)

Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциаль­ной форме: мощность тепла в единице объема q пропорциональна квадрату плотности электрического тока и обратно пропорциональна электропровод­ности среды. В такой форме закон Джоуля-Ленца носит совершенно общий характер, т. е. не зависит от природы сил, возбуждающих электрический ток. Если сила F чисто электрическая (F = eE), то

  q = (jE) = лE2.  (21.10)

Из изложенного ясно, что выражение (21.10) носит менее общий характер, чем (21.9).

Закон Джоуля-Ленца, как показывает опыт, справедлив и для электро­литов. Отсюда следует, что работа электрического поля в электролитах не тратится на образование ионов. Ионы в раст­воре образуются в результате диссоциации молекул при растворе­нии (электролитическая диссоциация). Приложенное электрическое поле к этому процессу не имеет отношения.

§22. Сторонние силы

1. Допустим, что единственными источниками электрического поля E в проводниках, по которым текут токи, являются электри­ческие заряды, возбуждающие поля по закону Кулона. При про­хождении тока непрерывно происходит убыль зарядов, точнее нейтрализация положительного и отрицательного электричеств. Для того чтобы напряженность поля, а с ней и плотность электри­ческого тока j оставались неизменными, необходимы какие-то дополнительные силы или процессы, непрерывно пополняющие электрические заряды.

Плотность электрического тока, как видно из формулы (21.7), определяется полной силой F, действующей на электрон или другой носитель зарядов. Силу F можно разложить на две части: элек­трическую и неэлектрическую, включающую в себя все про­чие силы. Эти прочие силы принято называть сторон­ними. В соот­ветствии с этим полагаем F/e = E + Eстор, где Eстор – напряженность поля сторонних сил, т. е. сторонняя сила, отнесенная к единице заряда. С учетом сторонних сил закон Ома записывается в виде

  j = л(E+ Eстор).  (22.1)

2. Приведем пример сторонней силы, не имеющего, правда, практического зна­чения. Если металлический диск вра­ща­ется с угловой скоростью щ (рис. 22.1), то в системе отсчета, связанной с диском, на электрон действует центро­беж­ная сила mщ2r, где m – масса электрона. Разделив ее на заряд электрона e, найдем напряжен­ность стороннего поля:

  Eстор = mщ2r/e.  (22.2)

Если к оси и периферии диска подвести скользящие контакты, то через гальванометр потечет электрический ток.

§23. Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной форме

1. Рассмотрим важнейший случай, когда электрические токи текут вдоль тонких проводов (проволок). Направление тока будет совпадать с направлением оси провода. Это авто­ма­ти­че­ски обеспе­чи­вается соответствующим распределе­нием элек­­трических зарядов на поверхностях проводников или в местах, где действуют сторонние си­лы. Площадь поперечного сечения провода S в различных местах его может быть неодинаковой. Для тонких проводов плот­ность тока j может считаться одной и той же во всех точках попе­речного сечения провода. Че­рез поперечное сечение провода в еди­ницу времени прохо­дит количество электричества

  ℑ = jS,  (23.1)

называемое силою тока или просто током. Если ток постоя­нен, то из-за сохранения заряда величина ℑ будет одна и та же вдоль всего провода. Для общности будем предполагать, что в проводе действуют сторонние силы, например, имеется галь­ванический элемент. Воспользуемся законом Ома в форме (20.1). Из него полу­чаем

E + Eстор = j/л.

Умножим это соотношение на элемент длины провода dℓ и проинте­грируем по участку провода от какой-либо точки 1 до другой точки 2 (рис. 23.1). Поско­льку ток один и тот же во всем про­воде, величину ℑ можно вынести из-под знака интеграла:

∫Edℓ + ∫Eсторdℓ = ℑ∫( лS)-1dℓ.

Так как электрическое поле стационарных токов потен­циально, то первый интеграл выражается через разность потенциалов ц1- ц2. Второй интеграл достаточно распространить на ту часть пути, где Eстор ≠ 0, т. е. на ту часть, которая проходит внутри гальваниче­ского элемента. Этот интеграл не зависит от положения начальной и конечной точек 1 и 2. Требуется только, чтобы эти точки находи­лись вне гальванического элемента. Ввиду потенциального характера поля Eстор в области, где действуют сторонние силы, интеграл не зависит также от того, как проходит путь интегрирования через гальванический элемент. Значит, этот интеграл есть величина, характеризую­щая свойства самого элемента. Она называется элек­тродвижу­щей силой элемента:

    (23.2)

Электродвижущая сила положительна, если путь 1-2 пере­се­кает гальванический элемент в направлении от катода к аноду, и отри­цательна в противоположном случае. Третий интеграл

    (23.3)

есть величина, характеризующая провод, по которому течет электри­ческий ток. Эта величина называется электри­чес­ким сопротивлением или просто сопротивлением провода. Если провод изготовлен из однородного мате­риа­ла и всюду имеет одинаковую толщину, то получается известная формула