Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 4 )

Найдем общее выражение для дипольного момента ней­тральной систе­мы зарядов. Предполагая сначала, что система указанным выше способом разделена на пары равных зарядов противоположного знака, напишем

p = Уqi+ℓi = Уqi+(ri+ - ri-) = У(qi+ri+ + qi-ri-),

где qi+, ri+ и qi-, ri-– величины положительных и отрицательных зарядов и их радиус-векторы соответственно. Теперь можно снова соединить мысленно раз­­делен­ные заряды и вернуться к их первоначаль­ной системе. Тогда по­лу­чится p = Уqiri, где суммирование производится по всем заряда перво­на­чаль­­ной системы. Для электрически нейтральной системы величина этой суммы не зависит от выбора начала координат.

§3. Поток вектора,  теорема Гаусса

Понятие потока вектора является одним из важнейших понятий вектор­ного анализа. Оно используется при формули­ровке важнейших свойств электрического, магнитного и дру­гих векторных полей. Первоначально это понятие было вве­де­но в гидродинамике. Аналогично потоку жидкости (vdS) через элементарную площадку dS, величину dФ = EdS называют элементар­ным потоком вектора напряженности электрического поля через пло­щадку dS, хотя с этим понятием не связано реальное течение. Поток же вектора через конечную поверхность определится поверх­ност­ным интегралом

  Ф = ∫EdS.  (3.1)

Если E = ∑Ei, то скалярно умножая на dS и интегрируя по рас­смат­риваемой поверхности, получим

  Ф = ∑Фi,  (3.2)

где Фi – поток вектора Еi через ту же самую поверхность. Таким образом, если векторы склады­ваются гео­метри­чески, то их потоки через одну и ту же поверх­ность склады­ва­ются алгебраи­чески.

Перейдем теперь к доказательству важ­нейшей теоремы элек­тро­статики - теоремы Гаусса. Она опреде­ляет поток вектора напряженности элек­три­чес­кого поля через произвольную замкну­тую поверхность S. За положи­тельную нормаль к поверхности S примем внешнюю нормаль, т. e. нормаль, направ­лен­ную наружу.

Пред­по­ло­жим сначала, что электрическое поле создается единст­вен­ным точечным зарядом q. Рассмотрим простейший случай, когда поверх­ность S является сферой, а точечный заряд q помещен в ее цен­т­ре (рис. 3.1). На поверхности S поле опреде­ляется выражением 

  E = qr/r3.  (3.3)

Поток вектора E через элементарную площадку сфе­ры ра­вен

dФ = (En)dS = q dS/r2,

а поток через всю сферу – Ф = qS/r2. Так как для сферы S = 4рr2, то

Ф = 4рq.  (3.4)

Покажем теперь, что результат (3.4) не зависит от формы поверх­ности S, окружающей заряд q. Возьмем произвольную элемен­тарную площадку dS с положительным направлением нормали n (рис. 3.2). Поток вектора E через эту пло­щадку будет

dФ = (En) dS = EdScosб = EdSr,

где dSr – проекция площадки dS на плоскость, пер­пендику­лярную к радиусу r. Используя выражение (3.3), получим

dФ = qdSr/r2.

Величина dSr/r2 есть телесный угол dЩ, под которым из точки на­хо­ждения заряда q видна пло­щад­ка dSr, а, следовательно, и площадка dS. При этом телесный угол положителен, если площадка dS обращена к q внутренней сто­ро­ной, и отрицателен – в про­тив­ном случае. Тогда

dФ = q dЩ.

Поток Ф через произвольную (вообще говоря, незам­к­ну­­тую) конечную поверх­ность найдется интегрирова­нием это­го выражения по dЩ. Так как заряд q не зависит от положе­ния площадки dS, то Ф = q∫dЩ, или

  Ф = qЩ,  (3.5)

где Щ – телесный угол, под которым из точки нахождения заря­да q видна поверхность S.

Если поверхность S замкнутая, то следует различать два случая.

Случай I. Заряд q лежит внутри поверхности S (рис. 3.3). В этом случае телесный угол Щ охва­тывает все направления в пространстве, т. e. равен 4р, и получаем (3.4).

Случай 2. Заряд q лежит вне пространства, окруженного поверхно­стью S (рис. 3.4). В этом случае прямая, ис­хо­дящая из заряда q, либо со­в­сем не пересекает замкнутую поверхность, либо пересекает ее четное число раз. Поэтому полный телесный угол Щ, а с ним и поток Ф, равен нулю.

Допустим теперь, что поле E является суперпозицией полей E1, E2,... точечных зарядов q1, q2... Поток вектора E равен сумме потоков векторов E1, E2... Если заряд qi окружен замкнутой поверх­но­с­тью S, то его поток через эту поверхность будет 4��qi. Если же заряд лежит вне поверхности S, то его поток равен ну­лю. В результате получается следующее фундамен­таль­ное соотно­шение:

Ф = ∮EdS = 4рq,  (3.6)

называемое теоремой Гаусса: Поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность равен 4рq, где q – ал­ге­браи­че­ская сумма всех зарядов, окруженных замкнутой поверх­но­стью S. Заряды, расположен­ные во внешнем пространстве по отношению к этой поверх­ности, на величину потока не влияют. При доказательстве предполага­лось, что все заряды точечные. Но это ограничение легко снять, так как всякий заряд можно мыс­ленно раз­де­лить на малые части, каждая из которых может рас­сматриваться как точечный заряд.

§4. Применения теоремы Гаусса

Для расчета электрических полей произвольно распреде­ленных зарядов теорема Гаусса недостаточна, так как представляет скалярное соотно­шение. А од­но­го скалярного уравнения мало для определения трех составляющих вектора E. Необходима известная сим­метрия задачи, чтобы послед­няя свелась к решению одного скалярного уравнения. В таких слу­чаях (и то далеко не всегда) теорема Гаусса может оказаться достаточной для вычис­ления век­тора E. Приведем при­меры.

1. Поле равномерно заряженной плоско­сти. Поверхностная плотность электричества �� на заря­жен­ной плос­кости постоян­на. Ввиду симметрии, век­тор E должен быть перпендикулярен к этой плос­кости. Он направлен от плоскости, если она заря­жена положительно, и к плоскости, если ее заряд отрицателен. Ввиду той же симметрии длина вектора E может зависеть толь­ко от расстояния до заряженной плоскости, но не может зависеть от то­го, по какую сторону от нее находится точка на­блю­де­ния. Заметив это, построим цилиндр с осно­ва­ния­ми, симметрично расположенными по раз­ные сто­ро­ны плоскости, и с образующими, перпен­дикулярными к ней (рис. 4.1). Если S - площадь каж­дого из оснований, то поток вектора E через одно основание будет ES, а через оба основания - 2ES. Поток через боко­вую поверх­ность цилиндра равен нулю, так как на ней век­торы E и n взаимно перпендикулярны. Поэтому поток через всю поверх­ность цилиндра равен Ф = 2ES. По теореме Гаусса тот же поток мож­но предс­тавить в виде Ф = 4руS. Сравнивая оба выра­же­ния, находим

  E = 2ру.  (4.1)

Напряженность поля заряженной пло­скости, таким образом, не зависит от расстояния до нее. Плоскость может счи­­таться бесконечной, если расстояние от нее пренебрежимо мало по сравнению с ее размерами. На больших расстояниях формула (4.1) неприменима – напряженность поля убы­вает с рас­стоянием.

Отметим еще, что по разные сторо­ны плоскости векторы E одинаковы по величине, но противоположны по направлению. Поэтому при переходе через заряженную плос­кость напря­жен­ность электрического поля меняется скачком на величину 4ру.

2. Поле заряженной плоскопараллельной пла­стинки. Пусть 2a – тол­щи­на пластинки, а с – объемная плотность электри­чес­т­ва внутри пластинки. Пусть величина с постоян­на. Нача­ло координат 0 поместим в средней плоскости плас­тин­ки, а ось X направим перпендикулярно к ней (рис. 4.2). Рас­суждая как в предыдущей задаче, найдем

  (4.2)

Теперь беспредельно уменьшим толщину пла­с­тинки, одновременно увеличивая плотность электри­чества с, чтобы величина ��a остава­лась постоянной. В пре­де­ле получится бесконечная, равномерно заряжен­ная плоскость с поверх­ност­ной пло­т­ностью электри­чества у = 2сa, а формула (4.2) перейдет в (4.1).

3. Поле равномерно заряжен­ного шара (по поверхности и объему). Ввиду сферической сим­метрии распределения заряда вектор E параллелен или антипараллелен радиус-вектору r, проведенному из центра шара в точку наблюдения, а его длина E может зависеть только от расстояния r. Поэтому проведем вне шара концен­три­чес­кую с ним сферу радиуса r > a (рис. 4.3а). Поток вектора E че­рез эту сферу (4рr2E) по теореме Гаусса равен 4рq, а потому для на­пря­женности поля вне шара получаем

E = q/r2  (4.3)

– независимо от того, за­ря­жен ли шар по объему или по поверхности. Таким об­ра­зом, равномерно заряженный шар создает во внешнем пространстве та­кое поле, как если бы весь заряд был сосре­доточен в его центре. Этот результат остается справед­ливым при любом сфе­ри­чес­ки симметричном распределении заряда по объему шара.