Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 6 )

Если помимо электрических сил в системе зарядов дей­ствуют какие-либо другие силы, то равновесие может ока­зать­ся устойчивым. Например, если два из трех одинаковых и оди­на­ково заряженных шарика закрепить на горизонтальном уров­не, а третий подвесить посередине между ними, то, независимо от длины нити, его равновесие будет устойчивым.

§7. Электрическое поле в веществе

1. Размеры атомных ядер и электронов примерно в сто ты­сяч раз меньше размеров самих атомов. На долю заря­женных частиц приходится ничтожная (примерно 10-15) часть занимаемого телом пространства. Весь ос­тальной объем тела состав­ля­ет вакуум. Атомные ядра и электроны воз­буж­дают в нем электромагнитные поля. Поле в промежутках между ато­мами и молекулами, а также внутри этих частиц необычайно сложно меняется в пространстве и во времени. Такое поле назы­вается микроскопическим или, просто, микрополем. Столь же сложно меняется плотность распределения элек­тричества. Она очень велика внутри атомных ядер и элек­тро­нов и обращается в нуль в промежутках между ними. Такая плот­ность также назы­вается микроскопической или микро­плот­нос­тью. Микроскопи­ческие вели­чи­ны обозначаются посредством Emic, сmic и т. п. Их нельзя измерить путем внесения в вещество пробного заряда. Наи­мень­шим зарядом является эле­мен­тарный заряд e (заряд элек­тро­на). А такой заряд существен­но исказил бы микрополе и рас­пределение электричества в атомной системе. Таким обра­зом, введение микроскопических вели­чин встречает опреде­лен­ную труд­ность принципиального характера. Тем не менее, классическая физика допускает такую воз­мож­ность. показал, как можно из пред­став­лений о микрополе прийти к уравнениям для описания макро­скопических процессов в телах.

2. Дадим теперь количественное определение макро­ско­пи­ческого поля E. Под E будем понимать микрополе Emic, усредненное по физически бесконечно малым объемам простран­ства. Чтобы вычислить макрополе E в какой-либо точке прос­транства, надо взять физически бесконечно малый объем V, внутри которого находится эта точка,  проинтегрировать век­тор Emic  по этому объему и значение интеграла разделить на ве­ли­чину объема:

.  (7.1)

Так же определяется макроскопическая плотность и любая другая макроскопическая величина. Результат вычисле­ния практически не должен зависеть от величины и формы объема V. Для этого необходимо, чтобы вну­т­ри объема V содержалось много атомов. В то же время объем V должен быть настолько малым, чтобы с ним, а также с любыми линейными разме­рами его можно было обращаться как с математическими диффе­рен­циа­лами. Объемы V, удовлетворяющие обоим этим усло­виям, называются физически бесконечно малыми. Усреднение по таким объемам в смысле операции (7.1) сглаживает все не­ре­гулярные и быстро меняющиеся вариации микрополя на расстояниях порядка атом­ных, но сохраняет плавные изме­нения его на макроскопических расстояниях.

§8. Электростатика проводников

1. Смещения электрических зарядов в металлах и изо­ля­то­рах носят совер­шенно разный характер. В металлах имеются сво­бодные электроны, ко­то­рые в пределах тела могут пере­мещаться на какие угодно расстояния. Поэтому индукционные заряды, возникающие в электрическом поле на противоположных концах тела, могут быть меха­нически отделены друг от дру­га. Возьмем два ме­тал­ли­че­ских цилиндра A и B, уста­нов­лен­ных на изоли­рую­щих подставках и соеди­нен­ных с элек­троско­пом (рис. 8.1). Сбли­зим их до соприко­с­нове­ния. Ес­ли поднести заряжен­ный шар C, то стрелки обоих электро­ско­пов отклонятся. При уда­ле­нии шара C отклонение пропадает. Раз­дви­нем теперь цилиндры A и B в присутствии тела C, а затем тело C удалим. Электри­ческие заряды на A и B, а также на сте­р­жнях и стрелках элек­троскопов со­хра­­нятся. Если шар C был заряжен положи­тель­но, то на A окажется отрицательный, а на B – по­ло­жи­тельный заряды. В этом можно убедиться, взяв по­тертую о кожу стеклянную па­лочку. Если этой палочкой кос­нуться цилиндра A, то отклонение стрелки электроскопа A умень­шится. Если же коснуться цилиндра B, то стрелка элек­троскопа B отклонится еще больше.

2. Если бы внутри однородного проводника существовало макро­ско­пи­ческое электрическое поле, то оно привело бы в движе­ние свободные электроны. В проводнике возник бы элек­триче­ский ток, и равновесие заря­дов было бы невозможно. Для равновесия необходимо, чтобы макроскопи­чес­кое поле E обра­ща­лось в нуль во всех точках внутри проводника. Будет ра­вна нулю также дивергенция вектора E, а с ней, в силу теоремы Гаусса (5.3), и величина с. Таким образом, при равновесии объ­ем­ная плотность электричества внутри од­нородного проводника равна нулю. Заряд может распределяться только на по­верхности, а не внутри проводника. Толщина поверхностного слоя, в ко­тором нару­шается электрическая ней­тральность ве­ще­с­тва, настолько ма­ла, что в макроскопической электро­ста­тике ее можно не прини­мать во внимание.

Электрические заряды располагаются на поверхности про­вод­ника потому, что между ними действуют кулоновские силы притя­жения и отталкивания. Допустим, что внутри проводника возникли электрические заряды. Согласно теореме Ирншоу, никакая стати­ческая конфигурация этих зарядов внутри проводника не может быть устой­чивой. Притяжение между разноименными зарядами приведет к их сближению и нейтрализации, а оттал­кивание одноименных зарядов – к тому, что они разойдутся как можно даль­ше и сосре­доточатся на поверхности тела. Приве­денное рассуждение пока­зывает также, что поверхностная плотность электричества будет ма­к­си­мальна на наиболее уда­ленных выступающих частях про­водника, об­ла­даю­щих минималь­ной кривиз­ной, например, на остриях.

3. Распределение электричества по поверхности про­водника можно ис­следовать с помощью пробного ша­рика, т. е. маленького металлического ша­рика, насаженного на изоли­рующую ручку. Возьмем металлическое тело, форма которого изображена на рис. 8.2а. Зарядив его, коснемся пробным шариком острия A, а затем поднесем шарик к электро­скопу. Стрелка элек­­троскопа отклонится. Если то же самое повто­рить, касаясь пробным ша­риком боковой повер­хности тела, то отклонение стрелки будет мень­ше. Ес­ли же коснуться впадины B, то стре­­лка совсем не отклонится. Это показы­ва­ет, что плотность элек­т­риче­ства мак­симальна у A и минимальна у В.

Возьмем гибкую металличес­кую сет­ку, к которой по обе сто­­роны приклеены легкие бумаж­ные листочки (рис. 8.2б), и зарядим элек­триче­ством. Если сетка плоская, то листочки расходятся оди­наково с обеих сто­рон. При изгибании сетки листочки с вы­пук­­лой стороны рас­хо­дя­тся еще больше, а с вог­нутой – спадают.

На остриях заряжен­но­го про­вод­ника поверхностная плот­ность за­ряда может быть настолько боль­шой, что электри­чество начинает с них стекать. В сильном и сильно неоднородном поле вблизи острия молекулы воз­духа заряжаются через влия­ние и при­тягиваются к нему. Коснувшись острия, молекулы заряжаются одноименно с ним и отталки­ваются. Сила оттал­ки­вания превос­ходит ранее действовавшую силу при­тяжения, так как она дей­ствует на заря­жен­ные молекулы, а сила притяжения – на ней­тральные. Поэтому заряженные молекулы бу­дут удаляться от острия с большими скоростями, чем они приближались к нему. Возникает поток за­ряженных частиц воз­ду­ха, направлен­­ный от ос­т­рия, называ­е­­мый элек­трическим вет­ром. Им можно погасить зажжен­ную свечу.

В демонстрационном приборе – ко­лесе Фран­к­ли­на (1706 –1790) – электри­чес­кий ветер, стекающий с остриев, при­водит во враще­ние легкий крест из метал­ли­че­ских проволок (рис. 8.3). Прибор действует по прин­ципу Сегнерово колеса.

В сильных электрических полях механизм утечки зарядов с острия ста­но­вится более сложным. Вблизи ост­рия моле­ку­лы воздуха ионизу­ют­ся силь­­­ным электрич­ес­ким полем. Воздух ста­новится проводником элек­т­ри­чес­тва. Возникает сильный элек­трический ток, направ­ленный к острию или от него (элек­трический пробой). Этот ток сни­мает электрические за­ря­ды с острия. На этом основано действие гро­моотвода.

4. При переходе через любую границу раздела сред танген­циальная составляющая поля меняется непрерывно (§4). В элект­роста­тике электри­че­ское поле внутри про­водника обращается в нуль. Отсюда сле­дует, что во внешнем прост­ранстве поле E должно быть пер­пенди­ку­ляр­но к поверхности провод­ника. Если бы это было не так, то под дей­ст­ви­ем каса­тель­ной сос­тав­ляющей поля E свободные заряды пришли бы в движение по по­верх­ности про­водника, т. е. рав­но­весие их бы­ло бы невоз­можно. Си­ло­вые линии, та­ким образом, нор­­маль­­­ны к поверх­ности проводника и окан­чи­ваются на ней, не проникая внутрь про­вод­ника (рис. 8.4).