Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 19 )

3. В учении о магнитном поле постоянных токов теорема о цир­куляции играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса в элек­тростатике. При наличии определенной симметрии теорема о цир­куляции позволяет иногда очень просто рассчитать напряженность магнитного поля. Приведем несколько примеров.

Магнитное поле цилиндрического провода радиуса a с током. Очевидно, что вне провода магнитное поле будет совпадать с полем прямого тока (31.1). Найдем поле внутри провода. Ввиду сим­метрии магнитные линии име­ют форму окружностей с цент­рами на оси тока. Одна из них изображена на рис. 34.5 пунктиром. Длина вектора B одна и та же во всех то­чках сило­вой линии. Циркуляция магнитного поля вдоль сило­вой линии, с одной стороны, равна 2рRB, с другой стороны, по теореме о циркуляции, равна 4рℑ′/с, где ℑ′ = ℑR2/a2– ток, пронизывающий рассмат­риваемый контур. Прирав­нивая оба выражения, получим

  B = 2ℑR/ca2.  (34.3)

Если провод полый, а поверхностная плотность тока постоянна, то вне цилинд­ра по-прежнему верна формула (34.1). По­ле внутри цилиндра в этом случае равно нулю.

Поле длинного соленоида. Пусть линейная плотность тока i, цирку­ли­рую­щего по поверхности со­ле­нои­да, одинакова по всей его дли­не. Пока­жем, что магнитное поле, если оно отлично от нуля, должно быть направле­но парал­лельно оси соленоида. Возь­мем два оди­наковых эле­мен­та тока ℑdℓ1 и ℑdℓ2, симметрично расположенных относительно точки наблю­дения A (рис. 34.6). По закону Био-Сава­ра результирующее магнитное поле этих двух элементов тока в точке A дается вы­ра­же­нием

 

Так как векторы dℓ и (r1+r2) перпендикулярны к оси соленоида, то поле dB параллельно этой оси. Очевидно, то же справедливо и для полного поля соленоида, причем независимо от того, где лежит точка наблюдения А – внутри или вне соленоида. Причем внутри соленоида вектор B составляет с направлением тока правовинтовую систему.

Опыт и расчеты показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнитного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.

Применим теперь теорему о циркуляции к прямоугольному контуру, одна сторона которого проходит внутри соленоида (рис. 34.7). Участки, перпендикулярные оси соленоида не вносят никакого вклада в циркуля­цию, так как магнитное поле к ним перпендикулярно. По сказанному выше не дает вклада и сторона ℓ вне со­леноида. Вся циркуляция сводится к инте­гра­лу по внутренней стороне контура и представ­ляется выражением Bℓ, где ℓ – длина этой стороны. По теореме о циркуляции та же величина равна 4рℑ/с = 4рiℓ/с. Сравнением обоих выраже­ний находим

  B = 4рi/с.  (34.4)

Этот результат справедлив также для соленоида с произ­воль­ным поперечным сечением. Для катушки с проволочной обмоткой

  B = 4рNℑ/сℓ,  (34.5)        <55.9)

где N – число витков, ℓ – длина катушки, а ℑ – сила тока в ее обмотке (см. формулу (31.9)). Эта фор­мула лишь приближенно представляет магнитное поле реального соле­ноида. Помимо искажения поля вблизи его концов, однородность поля нарушается в непо­средственной бли­зости каждого витка.

Поле тороидальной катушки. Заменим реальную кату­ш­­ку идеальным тором, по поверхности которого циркулирует ток с постоянной линейной плотностью i (рис. 34.8). Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора В должны быть окружно­стями, центры которых расположены на оси 0А тороида. Возьмем внутри тора одну из таких окружно­стей ради­уса R (пунктир на рис. 34.6). Циркуляция маг­н­итного поля вдоль этой окружности равна 2рRB. Полный ток, пронизы­ваю­щий площадь, ограниченную этой окружностью, ра­вен Nℑ, где N – число витков в тороидальной катушке. По теореме о циркуляции 2рRB = 4рN ℑ/c, а потому

  B = 2Nℑ/cR.  (34.6)        (55.10)

Таким образом, внутри тора магнитное поле совпадает с полем пря­мого тока силою Nℑ, текущего вдоль оси OA, вне тора – равно нулю.

§35. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции

1. Теореме о циркуляции можно придать дифференциальную форму, экви­валентную интегральной форме (35.1) или (35.2). С этой целью приме­ним теорему о циркуляции к бесконечно малому прямоугольному контуру 1234 со сторонами dy и dz, плоскость которого перпендикулярна к оси X (рис. 35.1). Вклад в циркуляцию, вносимый сторо­ной 12, равен By(x, у, z) dy. Противоположная сторо­на 34 вносит в циркуляцию слагаемое – By(x, y, z + dz) dy. Сумма этих величин равна

где dS = dzdy – площадь прямоугольника 1234. Ана­логично стороны 23 и 14 вносят в циркуляцию сла­гаемое (∂Bz/∂y)dS. Полная циркуляция будет

Bℓdℓ = (∂Bz/∂y - ∂By/∂z) dS.

По теореме о циркуляции та же величина равна 4рjxdS/c, так как jx dS есть полный ток, про­низывающий контур 1234. Приравнивая оба выраже­ния, придем к уравнению

∂Bz/∂y - ∂By/∂z = 4рjx/c.

Аналогично,

∂Bx/∂z - ∂Bz/∂x = 4рjy/c,

∂By/∂x - ∂Bx/∂y = 4рjz/c.

Умножив эти уравнения на координатные орты i, j, k и сложив, получим

  rotB = 4рj/c.  (35.1)

Это – одна из важнейших формул в учении об электричестве. Симво­лом rotB обозначен вектор

  rotB = i(∂Bz/∂y - ∂By/∂z) + j(∂Bx/∂z - ∂Bz/∂x) +

  + k(∂By/∂x - ∂Bx/∂y).  (35.2)

Дифференциальное выражение (35.2) называется ротором вектора В. Формально rot B можно рассматривать как векторное произведение дифференциального оператора набла (∇) на вектор В, т. е.

  rotB = [∇B].  (35.2a)

2. Векторные поля, ротор которых не равен нулю, называются вихре­выми. Формула (35.2) показывает, что магнитное поле В является вихревым во всех областях пространства, где текут электрические токи, и безвихре­вым, где токов нет.

Основные уравнения магнитного поля постоянных токов в ваку­уме мо­гут быть записаны в виде

  rot B = 4рj/c,  divB = 0.  (35.3)

Сравним их с уравнениями электростатического поля в вакууме:

  rotЕ = 0,  divЕ = 4рс.  (35.4)

Из этих уравнений видно, что электростатическое поле всегда потен­циально, его источниками являются неподвижные электри­ческие заряды. Маг­нитное поле, напротив, не потенциально, а соленоидально, его источни­ками служат электрические токи, т. е. движущиеся заряды.

§36. Магнитное поле в веществе

1. В веществе магнитное поле возбуждается не только элек­трическими токами, текущими по проводам, но и движениями заряженных частиц внут­ри самих атомов и молекул. Согласно полуклассической теории Бора, элек­троны вращаются вокруг атомных ядер по замкнутым орбитам. Кроме того, они обладают собственным угловым моментом – спином, имеющим чисто квантовый характер. Спином обладают не только электроны, но и атомные ядра. Орбитальные и спиновые моменты заряженных частиц аналогичны токам и возбуждают магнитные поля. Таким образом, магнетизм вещества  обусловлен тремя причинами:

а) орбитальным движением электронов вокруг атомных ядер,        орбитальным  движением  электронов  вокруг  атомных ядер,

б) спином (собственным угловым моментом) электронов,

в) спином атомных ядер.

Магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше орбиталь­ных и спино­вых магнитных моментов электронов. Ядерный магнетизм становится су­щес­т­венным только вблизи абсолютного нуля температур.

Атомы вещества, совершая беспорядочное тепловое движение, в отсу­тствие внешнего магнитного поля обычно ориентированы хаотически. Воз­буждаемые ими магнитные поля в окружающем пространстве компен­сируют друг друга. При наложении внешнего магнитного поля атомы пол­но­стью или частично ориентируются в направлении этого поля, и тогда компен­сация нарушается. В та­ких случаях говорят, что тело намагничено. Тела, спо­собные намаг­ничиваться, называются магнетиками. Большин­ст­во веществ в магнитном поле намагничивается слабо. Сильными магнитны­ми свойства­ми обладают только ферромагнитные вещества: железо, никель, кобальт, множество их сплавов, а также элементы редких земель.

2. Магнитное поле, как и поле электрическое, может быть микро­ско­пическим и макроскопическим. Микроскопическое поле есть истинное поле, возбуждаемое движущимися элементарными заря­дами вещества. Оно резко меняется на расстояниях атомного масштаба. Макроскопическое поле полу­чается из микроскопиче­ского путем сглаживания, т. е. усреднением по физи­чески беско­нечно малым объемам пространства. Вектор В есть основ­ной вектор, характеризующий макроскопическое поле в веществе. Орбитальные и спиновые вращения электронов и атомных ядер в отноше­нии возбуждае­мого ими магнитного поля эквивалентны каким-то токам, циркулирующим в атомах вещества. Они получили общее название молекулярных токов. Для вы­числения макроско­пического поля В молеку­ляр­ные токи мож­но также как­-то сгла­дить, заменив их макроскопи­ческими токами, называемыми токами намагничивания. Их плотность в дальнейшем обозначается jm. Обыч­ные токи, текущие по проводам, связаны с перемеще­ниями в веществе носителей тока – электронов или ионов, называются токами проводимости (j). Таким образом, поле В возбужда­ется токами проводимости и токами намагничивания. Влияние среды на магнитное поле сводится к действию токов намагничи­вания. Если известны токи проводимости и токи намагни­чива­ния, то можно как бы забыть о наличии вещества и вычислять индук­цию поля В по формулам для вакуума.