Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 18 )

5. Магнитное поле соленоида. Применим вспомогательную формулу (31.6) к цилиндри­ческой трубке, по поверхности которой перпендикулярно к ее образующим те­чет постоянный ток с линейной плотностью i (рис. 31.4). Такая трубка с током называется соле­нои­дом. Найдем маг­нит­ное поле соленоида на его оси. Из соображений симметрии ясно, что поле В направ­ле­но вдоль оси соленоида. Поэтому для нахо­жде­ния В достаточно просум­ми­ровать ка­са­тельные составляющие dBф, создаваемые отдельными поверхностными элементами тока. Поскольку величина i постоянна по всей поверхности соле­ноида, формула (31.6) дает

B = Щi/c,  (31.7)

где Щ – телесный угол, под которым из точки наблюде­ния видна внутренняя поверхность соленоида. Формула (31.7) верна независимо от того, находится ли точка наблюдения внутри или вне соленоида.

В частном случае, когда соленоид длинный, а точка наблюдения лежит внутри него далеко от его концов, можно пренебречь телес­ными углами, под которыми видны основания трубки соленоида. Иными словами, соле­но­ид можно считать бесконечно длинным. В таком случае

B = 4рi/c.  (31.8)

На концах соленоида поле будет вдвое слабее.

Проволочную спираль, шаг которой мал по сравнению с ради­усом витка, можно приближенно рассматривать как соленоид. Пусть по спирали течет постоянный ток ℑ. Если N – число вит­ков спирали, a ℓ – ее длина, то i = Nℑ/ℓ. Поэтому

B = 4рNℑ/ℓc.  (31.9)

§32. Момент сил, действующих на виток с током

1. Результирующая сила, действующая на виток с током в по­стоянном магнитном поле, дается выражением

∮[dℓˑB],

где интегрирование производится по контуру витка. Если магнит­ное поле однородно, то вектор В можио вынести из-под знака интег­рала. Задача сведется к вычислению векторного интеграла ∮dℓ, а такой интеграл равен нулю. Значит, в однородном поле равна нулю и сила F. Однако момент этой силы M, вообще говоря, не обращается в нуль. Займемся его вычислением.

2. Рассмотрим сначала плоский виток, плоскость которого параллельна магнитно­му полю В (рис. 32.1). Проведя пару близких магнитных линий, разобъем виток на пары элемен­тов тока ℑdℓ1 и ℑdℓ2. Действующие на них амперовы силы F1 и F2 перпендикулярны к плоскости витка и противоположны по направлению. По закону Ампера F1 = (ℑBdℓ1sinб)/c = ℑBdh/c, где dh – высота криволинейного четыреху­голь­ни­ка АЕСD. Тем же выражением определя­ется вели­чина силы F2. Таким образом, F1 и F2 обра­зуют пару сил с моментом dM = ℑBadh/c = ℑBdS/c, где а – плечо пары, a dS – площадь четырехугольника AECD. Ин­те­грированием по­луча­ем M = ℑBS/c, где S – площадь, охватываемая витком тока. Вращаю­щий момент M направлен по нормали поверхности витка. Так что полученный ре­зультат можно записать в век­тор­ной форме:

M = [mB],  (32.1)

где введено обозначение

m = ℑS/c.  (32.2)

Вектор m называется магнитным моментом тока.

Допустим теперь, что плоскость витка перпендикулярна к магнитному полю. В этом случае амперова сила dF = ℑ[dℓ B]/c, действующая на элемент dℓ, будет лежать в плоскости витка и равна по величине ℑBdℓ/c. Такие силы, в зависимости от направления тока, будут только растягивать или сжимать виток. Однако их момент равен нулю.

В случае, когда магнитное поле направлено под углом к плоскости контура, представляя вектор В в виде В  = B∥ + B⊥,  где B∥ – параллельная, а B⊥ – перпендикулярная к плоско­сти контура составляющие поля, опять получим формулу (32.1).

Формула (32.1) справедлива и для соленоида, поскольку послед­ний можно рассматривать как систему кольцевых токов. Магнит­ный момент соленоида, очевидно, определяется формулой (32.2), если под ℑ понимать полный ток, текущий по боковой поверх­ности соленоида, а под S – площадь его поперечного сечения. Для проволочной спирали с малым шагом, со­стоящей из N витков, m = NℑS/c.

3. Под действием вращающего момента виток или катушка будут поворачиваться так, чтобы векторы m и В стали параллель­ными и одинаково направленными. Это – положение устойчивого равновесия. В положении, когда m и В антипараллельны – равновесие неустойчивое.

Измерив вращающий момент М, можно найти индукцию магнитного поля, как по величине, так и по направ­лению. В частности, такие измерения позволяют проверить закон Био-Савара в интегральной форме (30.3).

§33. Теорема Гаусса для магнитных полей

Теорема Гаусса для магнитного поля формулируется следующим образом: поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкну­тую поверхность равен нулю:

  ∮BdS = 0,  (33.1)

или в дифференциальной форме

  divB = 0.  (33.2)

Эта теорема отражает тот факт, что в природе не существует магнит­ных зарядов, (иначе – магнитных монополей, т. е. частиц, которые обладали бы свойствами лишь северного или южного полюсов магнита) т. е. источников магнитного поля, на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции. Вследствие этого силовые линии магнитного поля не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. Отсюда становится очевидным, что магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность должен обращаться в нуль. Сравнение (33.1) и (33.2) с соответствующими уравнениями теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме,

∮EdS = 4рq,  divЕ = 4рс,

также подтверждает наше утверждение.

Уравнение (33.1), или эквивалентное ему уравнение (33.2), справедливы не только для постоянных, но и для любых магнитных полей. Все опыт­ные факты подтверждают это заключение.

Силовые поля, дивергенция которых всюду обращается в нуль, называются соленоидальными полями. Следо­вательно, магнитное поле есть поле соленоидальное. Его источниками являются не магнитные заряды, а электрические токи.

§34. Теорема о циркуляции магнитного поля в вакууме

1. Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатичес­кого поля, в магнитном поле вводится понятие циркуляции вектора магнит­ной индукции B по заданному замкнутому контуру:

∮B dℓ = ∮Bℓdℓ,

где dℓ – элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура, Bℓ  = Bcosб – составляющая вектора B в направлении к касательной dℓ к контуру, б – угол между векторами B и dℓ.

Теорема о циркуляции вектора B, или закон полного тока для магнитного поля в вакууме формулируется следующим образом: циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру равна произведению 4��/c на алгебраическую сумму токов, про­низывающих этот контур, т. е.

∮Bdℓ = 4р/c∑ℑk,        (34.1)

причем каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он пронизывает контур циркуляции. Положительным считается ток, направление ко­торого связано с на­пра­влением обхода контура правилом правого вин­та; ток противо­по­лож­ного на­пра­­вле­ния считается от­рицатель­ным (рис. 34.1). Например, для системы токов, охваченных кон­туром на рис. 34.2, закон полного тока запишется сле­дую­щим образом:

∮Bdℓ = (4р/c)(2ℑ1 - ℑ2 + ℑ3).

Теорема о циркуляции может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (34.1) как постулат, подтвержденный экспериментально.

Убедимся в справедливости теоремы на примере магнитного поля прямого тока ℑ (рис. 34.3). В качестве замкнутого контура сначала выберем какую-нибудь линию индукции магнитного поля прямого тока в виде окружности радиуса r. В каждой точке этой окружности вектор B одинаков по модулю и направлен по касательной к ней. Следовательно, в данном случае циркуляция вектора B будет равна

∮Bdℓ  = B∮dℓ = Br∮dб = 2рrB = 2рr·2ℑ/cr = 4рℑ/c,

где воспользовались формулой B = 2ℑ/cr для поля прямого тока.

Циркуляция ∮Bdℓ будет равна нулю, если путь интегрирования не обходит вокруг тока (рис. 34.4). Дей­ствительно, при этом интеграл по 1а2 положителен, а по 2б1 – отрицателен и по величине равен 2ℑв1/c, где в1 – угол, под которым виден контур от точки О прямого тока:

∮Bdℓ  = ∮Bcosб dℓ = ∮Br dб = 2ℑ/c∮ dб = 0.

2. Если объемная плотность тока j конечна, то ℑ = ∫jdS, где S – любая поверхность, натянутая  на контур, по которому вычисляется циркуляция. В этом случае формула (31.1) перейдет в

  ∮Bdℓ = 4р/c∫jdS.  (34.2)

Известно, что циркуляция электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю: ∮Еdℓ = 0, т. е. поле Е потенциально.

В тех областях пространства, где не текут электрические токи (j = 0), циркуляция ∮Bdℓ обращается в нуль по любому замкнутому контуру, т. е. в таких областях магнитное поле тоже потенциально. Однако, как видно из формулы (34.2), этого не будет там, где текут электрические токи. Там магнитное поле вихревое.