Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 12 )

Последнее выражение обладает большей общностью, чем первая формула (17.4). При его выводе не использовалось соотношение D = еE. Предполагалось только, что вектор D является однозначной функ­цией E.

Какому же из этих двух представлений о локализации электрической энергии – (16.4), или (17.4), следует отдать предпочтение? В рамках электростатики принципиально невозможно указать ни одного опыта, который позволил бы сделать выбор между ними. Дело в том, что в электростатике электрическое поле неотделимо от зарядов, являющихся его источниками. Величиной и расположением зарядов однозначно определяется электростатическое поле.

Не так обстоит дело в случае переменных полей. Переменные электромагнитные поля могут существовать самостоятельно, независимо от возбудивших их электрических зарядов. Заряды могут нейтрализоваться, а поле, которое они возбудили, может продолжать существовать в виде электромагнитных волн, которым присущ определенный запас энергии. Эта энергия не может быть представлена как потенциальная энергия зарядов, взаимодействующих на расстоянии, поскольку самих зарядов уже нет. Формула (16.4) теряет смысл. Но формула (17.3), а также выражения (17.4) сохраняют смысл и для переменных электромагнитных полей.

§18. Взаимная энергия точечных зарядов

1. Пусть точечные заряды q1 и q2 находятся в вакууме на беско­нечном расстоянии друг от друга. Чтобы их сблизить до расстояния r12 надо затратить работу q1q2/r12. Потенциальная энергия взаимо­действия зарядов будет

  U = q1q2/r12.  (18.1)

Для n точечных зарядов

    (18.2)

Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммиро­ва­нии потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды. Формулу (18.2) можно представить в виде

  U = Ѕ∑qiцi,  (18.3)

где цi – потенциал в точке нахождения i-го заряда, создаваемый всеми остальными (k = 1,…, n) зарядами:

  цi = ∑qi/rik.  (18.4)

2. По внешнему виду формула (18.3) совпадает с аналогичной формулой (16.4) для электрической энергии заряженных провод­ников.

Каж­дый заряд qi, взятый в отдельности, обладает электри­ческой энергией. Она называется собственной энергией заряда и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия учитывается в формуле (16.4), но не учитывалась при выводе формулы (18.3). При получении формулы (18.3) каждый заряд qi рассматривался как нечто целое и неизменное. Учитывалась только работа, затрачиваемая на сбли­же­ние таких неизменных зарядов, но не на их образова­ние. На­про­тив, в формуле (16.4) учитывается также работа, затрачиваемая на образование зарядов qi путем конденсации их из бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. В соответствии с этим формула (16.4) определяет полную электрическую энергию системы зарядов, а формула (18.3) – только их взаимную потенциальную энергию.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

§19. Плотность тока.

Закон сохранения электрического заряда

1. Электрический ток есть упорядоченное движение электрических зарядов. Эти заряды в учении о токах называются носителями тока. В ме­тал­лах и полупроводниках носителями тока являются электроны, в электро­литах и ионизованных газах – положительные и отрицательные ионы.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда все носители тока одинаковы (например, электроны в металлах). Выделим мысленно в среде, по которой течет ток, произвольный фи­зически бесконечно малый объем и обозна­чим через u средний вектор ско­рости рассматриваемых носителей в этом объеме. Его называют средней, или упорядоченной скоростью движения носителей тока. Обозначим далее через n концентрацию, т. е. число носителей тока в единице объема. Проведем бесконечно малую пло­щадку dS, перпенди­ку­лярную к скорости. Построим на ней бес­конечно короткий прямой цилиндр с высотой udt. Все частицы, заключенные внутри этого ци­линдра, за время dt пройдут через площадку dS, перенеся через нее в на­пра­влении скорости и электрический заряд dq = neudSdt, где e – заряд отдельной частицы. Таким образом, через единицу пло­щади ежесекундно переносится электрический заряд j =  neu. Вектор

  j = neu  (19.1)

называется плотностью электрического тока. По величине плот­ность тока есть заряд, переносимый в единицу времени через еди­ничную площадку, перпендикулярную к току. Нап­ра­в­ление же вектора j совпадает с напра­вле­нием упорядоченного течения поло­жительного электричества.

Обобщение приведенных рассуждений на случай нескольких типов зарядов, создающих ток, не представляет труда:

j = ∑nieiui,  (19.2)

где суммирование ведется по всем типам носителей тока.

Установим произвольно положительное направление нормали к площадке dS и проведем в этом направлении единичный вектор п. Если частицы положительные, то переносимый заряд в направлении нормали n будет положи­тельным или отрицательным в зависимости от того, движутся ли частицы в направлении век­тора n или в противоположном направлении. Для отрицательных частиц соот­ношение будет обрат­ным. Вообще количество электричества, переносимого за 1 сек. через сечение dS, можно записать в виде

  dq = (jn)dS = jn dS.  (19.3)

Последняя формула остается верной и в том случае, когда площадка dS не перпендикулярна к вектору j (рис. 19.1). Чтобы убедиться в этом, доста­точно за­метить, что составляющая вектора j, перпендикулярная к век­тору n, через площадку dS электричества не переносит.

2. Одним из фундаментальных физических законов яв­ля­ется закон сохранения электрического заряда. Выразим его мате­­матически через мак­ро­­скопические величины: плотность заряда с и плотность электрического тока j. Возьмем в среде произвольную замкнутую поверхность S, ограни­чи­вающую объем V (рис. 19.2). Количество электричества, ежесе­кундно выте­кающее из объема V через поверхность S, пред­­ставляется интегралом ∮jndS. Ty же величину можно представить в виде – ∂q/∂t, где q – заряд, со­держащийся в объеме V. При­рав­нивая оба выражения, получим

  ∂q/∂t = - ∮jndS.  (19.4)

Представив q = ∫сdV и преобразовав поверхностный интеграл в объемный ∫divjdV, придем к соотношению

Так как объем V произволен, то

  .  (19.5)

Формулы (19.4), (19.5) и выражают закон сохранения заряда в ма­кроскопической электродинамике. Последняя формула называется также уравнением непрерывности или уравнением неразрывности.

Если токи стационарны, то формулы (19.4) и (19.5) переходят в

  ∮jndS = 0  и  divj = 0.  (19.6)

В настоящей главе рассматриваются в основном стационарные (пос­тоянные) токи.

§20. Закон Ома

1. Одним из главных способов возбуждения электри­ческого тока в телах является создание и поддержание в них электрического поля. Как показывает опыт, для многих тел (например, металлов) в широких пределах плотность элек­трического тока j пропорцио­нальна напряженности элек­трического поля E. Это – один из важ­нейших, хотя и не фундаментальных, законов электродинамики. Он называется законом Ома (1787–1854). Закон Ома выражается формулой

  j = лE,  (20.1)

где л – постоянная для данного материала величина, называемая его удель­ной проводимостью или электропроводностью. Она зависит от физи­чес­кого состояния тела (температуры, давления). Стро­го говоря, закон Ома спра­ведлив лишь для физически однородных тел. Величина, обратная электро­про­водности, называется удельным сопротивлением мате­риа­ла:

  с = 1/л.  (20.2)

В гауссовой системе единиц электропроводность имеет размерность, обратную вре­мени. Ее единица есть обратная се­кунда (c-1). Удельное сопро­тивле­ние с измеряется в секундах.

2. Если ток стационарный, то объемная плотность электриче­ства в однородном проводнике равна нулю. Действи­тель­но, перепишем второе урав­нение (19.6) в виде div(лE) = 0 или div(лD/е) = 0. Так как среда по предполо­жению однородна, то е = const, л = const и рассматриваемое урав­нение сводится к divD = 0. Отсюда, с учетом теоремы Гаусса, находим с = 0.

Таким образом, в случае стационарных токов макроскопи­ческие элек­трические заряды могут находиться только на поверхности или в местах неоднородности проводящей среды. В этом отношении электрическое поле стационарных токов аналогично электростати­ческому. Аналогия между этими полями идет еще дальше. Если токи стационарны, то плотность элек­три­ческих зарядов в каждой точке пространства не меняется во времени, хотя и происходит движение электричества: на место уходящих заря­дов непрерывно поступают новые. Такие заря­ды, как показывает опыт, создают в окружающем про­странстве такое же кулоновское электрическое поле, что и непод­вижные заряды той же плотности. Отсюда следует, что электриче­ское поле стационарных токов есть поле потенциальное.

Тем не менее, электрическое поле стационарных токов сущест­венно отличается от электростатического. Электроста­ти­­ческое поле есть куло­новское поле неподвижных зарядов. Внутри проводников при равновесии зарядов оно равно нулю. Электрическое поле ста­ционарных токов есть также кулоновское поле, однако заряды, его возбуждающие, находятся в движении. Поэтому поле стационар­ных токов существует и внутри проводников. Если бы это было не так, то в провод­ни­ках не было бы и электрических токов, как это следует из закона Ома (20.1). Силовые линии электроста­ти­ческого поля всегда нормальны к поверхности проводника. Для электриче­ского поля стационарных токов это не обязательно.