Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 28 )

4. Уpaвнения (52.5) и (52.6) – дифференциальные уравнения второго порядка. Если «внешних сил», ℰ или F нет, то уравнения линейны и однородны относительно неизвестных q или x и их произ­водных по времени. Они описывают так называемые свободные колебания. Колебательные системы, свободные колебания которых описываются линейными уравнениями, называются линейными колебательными системами. Введем обозначения:

  щ02 = 1/LC,  или  щ02 = k/m,  (52.7)

2г = R/L,  или  2г = б/m,  (52.8)

  X = ℰ/L,  или  X = F/m.  (52.9)

Тогда,

    (52.10)

Величина щ0 называется собственной частотой колебательной си­сте­мы, а г – коэффициентом затухания. Смысл этих названий выяснится в даль­нейшем.

§53. Свободные колебания гармонического осциллятора

1. Если нет омического сопротивления, или диссипативной силы, то свободные колеба­ния в коле­бательном контуре описываются уравнением

    (53.1)

Вторым уравнением описываются свободные незатухаю­щие колебания груза на пружине. Всякая система – механиче­ская, электрическая или какая-либо другая, свободные коле­бания которой подчиняются уравнению типа (53.1), называется гармоническим осциллятором. При наличии сопротивле­ния 2г система называется гармоническим осциллятором с зату­ханием.

Для решения уравнения (53.1) умножим обе части его на dq/dt. Тогда, после небольших преобразований получим

Отсюда следует, что величина (или ) не меняется во времени. Учитывая начальное условие q(0) = q0 (или x(0) = x0) она представится в виде

 

Это равенство выражает сохранение энер­гии коле­бательной системы, так как его можно записать в виде

Производя второе интегрирование (разделением переменных), получим решение для q(t) или x(t) в виде

  q(t) = q0cos(щ0t + д).  (53.2)

Постоянная интегрирования д определяется начальным условием для тока (скорости), скажем – ℑ(0) = 0 (или v(0) = 0). В этом случае д = 0.

2. Формулой вида (53.2) описываются также свободные коле­бания груза на пружине, физического или мате­матического маятника при малых отклонениях, ножки звучащего камертона, а также колебания напряжения в цепи городского тока. Если какая-либо величина меняется во времени по закону (53.2), то говорят, что она совершает гармоническое колебание.

Величина щ0 называется круговой или циклической частотой гармонического колебания. Она совпадает с собственной круговой частотой коле­бательной системы, определяемой формулой (52.7). Промежуток времени

  Т0 = 2р/щ0,  (53.3)

через который значения колеблющейся величины периодически повто­ряют­ся, называется периодом колебания. Число колебаний в единицу времени

  н0 = 1/Т0 = щ0/2р  (53.4)

называется частотой колебаний. За единицу частоты принимают герц. Герц есть такая частота, когда в одну секунду совершается одно колебание.

Величина q0 называется амплитудой, а величина щ0t + д – фазой колебания. Величину д называют начальной фазой.

Для электрических колебаний собственная частота определя­ется формулой (52.7). Поэтому

  T0 = 2р√LC.  (53.5)

Этo есть формула Томсона.

Если по оси абсцисс откладывать вре­мя t, а по оси ординат – значение колеблю­щейся величины q, то получится синусоида (рис. 53.1). Амплитуда q0 есть макси­мальное отклонение величины q от ее нулевого значения.

Ток находим дифференцированием выражения (53.2):

ℑ(t) = щ0q0cos(щ0t + р/2),

откуда видно, что колебания тока опережают по фазе колеба­ния заряда на р/2. Электрическая и магнитная энергии опреде­ляются выражениями

Средние значения этих величин одинаковы и равны

Около этих средних значений величины We и Wm совершают гармонические колебания с круговой частотой 2щ0. Непрерывно проис­ходит переход электрической энергии в магнитную и обратно. Когда электри­чес­кая энергия достигает максимума, магнитная обращается в нуль, и наоборот. Полная энергия

  W = We + Wm = q02/2C  (53.6)

остается постоянной, как и должно быть по закону сохранения энергии. Она, как видно из формулы (53.6), пропорциональна квадрату амплитуды. Это справедливо и для механических гар­монических колебаний:

W = kx2/2 + mv2/2 = kx02/2.

3. Представление колебаний в комплексном виде. Гармонические колебания удобно представлять в комплексном виде, используя формулу Эйлера:

  .  (53.7)

Следовательно, гармонические колебания (53.2) можно представить как действительную часть комплексной величины (53.7):

  .  (53.8)

Обычно при вычислениях удобно представлять решение в комплексном виде

    (53.9) 

и только в конечном выражении отделять действительную часть.

§54. Затухающие колебания

Учтем теперь диссипацию энергии. Полагая в (52.10) X = 0, получим уравнение свободных колебаний

    (54.1)

Для его решения введем новую переменную о, полагая

  q = о(t)e-гt.  (54.2)

Тогда

    (54.3)

Формально это уравнение совпадает с дифференциальным урав­нением свободных незатухающих колебании (54.1). Однако коэф­фициент щ02- г2 мо­жет принимать как положительные, так и отрицательные значения. Здесь следует различать три случая.

1. Периодическое затухание: щ02- г2> 0. Введем обозначение

щ2 = щ02- г2 .  (54.4)

Тогда

Отсюда следует, что величина о должна совершать незатухающие гармонические колебания с круговой частотой щ: о = acos(щt + д). Так, что

q(t) = ae-гt cos (щt + д).  (54.5)

Кривая q = q(t), представляемая этой формулой (рис. 54.1), не периодична. Однако величина q периодически проходит через нуль, принимая умень­шающие со временем максимумы и минимумы. В этом смысле процессы, описываемые формулой (54.5), явля­ются колебательными. Они называются затухающими колебаниями. Промежуток времени между двумя последова­тель­ными прохожде­ниями величины q через нуль равен р/щ. Удвоенное его значение

  T = 2р/щ = 2р/√( щ02- г2) = T0/√(1 – г2/щ02)  (54.6)

называется периодом колебаний, хотя слово «период» здесь не сов­сем уместно, так как процесс не периодический. Из формулы (54.6) видно, что T > T0, т. е. диссипативные механизмы понижают частоту коле­баний и удлиняют их период. Множитель 

  A = ae-гt,  (54.7)

в формуле (54.5) называется амплитудой затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает во времени. Время,

  ф = 1/г,  (54.8)

по истечении которого ампли­ту­да убывает в e раз, называется временем затухания. Число пол­ных колебаний, совершаемое за время ф, равно

  N = ф/T = 1/гT.  (54.9)

Отношение соседних двух амплитуд равно A(t)/A(t+T) = егT. Логарифм этого отношения:

  d = ln A(t)/A(t+T) = гT,  (54.10)

называется логарифмическим декрементом колебания. Он связан с числом колебаний N соотношением

  N = 1/d.  (54.11) 

Величина

  Q = рN = р/d  (54.12)

называется добротностью колебательного контура. Ее физический смысл будет установлен ниже (см. § 55).

2. Апериодическое затухание: щ02- г2≤ 0. Это – случай большой диссипации, при котором, сообщенная системе энергия диссипируется, не созда­вая в ней колебательного процесса. Например, при щ02 - г2 = 0 период (54.6) обращается в ∞, а (54.3) дает

  q = (a + bt)e-гt.  (54.13)

В зависимости от значений постоянных интегрирования а и b величина q будет или не будет проходить через максимум (один раз). При любых а и b величина q асимптотически приближается к нулю, когда t→∞ (рис. 54.2а, б).

При щ02- г2 < 0 общее решение уравнения (54.1) имеет вид

q = ae-вt + be-зt,

где

в = г + √(г2 – щ02),  з = г - √(г2 – щ02).

Постоянные интегрирования a и b определяются начальными условиями.

§55. Вынужденные колебания

1. Вынужденные колебания затухающего осциллятора описываются уравнением

    (55.1)

где X(t) – внешняя действующая сила, точнее, электродвижу­щая сила, деленная на индуктивность катушки самоиндукции, или (в случае механических колебаний) сила, деленная на массу колеблющегося тела. Уравнение (55.1) линейно, т. е. первой степени относительно неизвестного q и его производных по вре­мени. Оно неоднородно, т. е. содержит правую часть X (t). Общее решение неоднородного уравнения (55.1) может быть представлено в виде суммы его частного решения и общего решения соответствующего однород­ного уравнения.