Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 27 )

то уравнение (51.2) примет вид

  ∂ϵ/∂t + div П = 0.  (51.4)

2. Для физической интерпретации этого уравнения сравним его с уравнением непрерывности. Формальная аналогия приводит к представлению, что энергия течет в пространстве подобно жидкости, причем вектор П играет роль плотности потока электромагнитной энергии и называется вектором Пойтинга для электромагнитного поля (см. §57). Математически это представление выражается более наглядно и непосредственно, если уравнение (51.4) записать в интегральной форме:

  ∂/∂t∫ϵdV = ∮ ПdS,  (51.5)

где V – произвольный объем среды, ограниченный замкнутой поверхностью S. В такой форме уравнение означает, что приращение внутренней энергии в объеме V происходит за счет электромагнитной энергии, втекающей в этот объем из окружающего пространства через поверхность S.

3. Допустим, вектор D однозна­ч­ная функция вектора Е, а вектор В – вектора Н. Тогда элементарная работа дАext пойдет только на выделение джоулева тепла (jE)dt и на приращение электромагнитной энергии. Поэтому, в соответствии с формулой (51.1), выражение

  dw = (ЕdD + HdB)/4р  (51.6)

должно быть истолковано как приращение плотности электромагнитной энергии w. Сама величина w представится интегралом

    (51.7)

В частном случае, когда справедливы соотношения D = еЕ, В = мН, отсюда получаем

w = (еE2 + мH2)/8р,  или  w = (ED + HВ)/8р.  (51.8)

4. В качестве примера рассмотрим выделение джоулева тепла в цилиндрическом проводе радиуса r и длины l, по которому течет постоянный ток ℑ (рис. 51.1). Магнитное поле обвивается вокруг тока и на поверхности провода равно Н = 2ℑ/сr = 2jрr/с. Электрическое поле Е параллельно оси провода. Так что вектор Пойтинга Р направлен внутрь провода нормально к его боковой поверхности. Следовательно, электромагнитная энергия втекает внутрь провода из окружающего пространства. Количество электромагнитной энергии, ежесекундно вступающей в провод через его боковую поверхность, будет

2рrl Р = 2рrlcEH/4�� = 2рrlcE2jрr/4рc = V·jE,

где V = рr2l – объем провода. Но такое же количество тепла выделяется в проводе при прохождении электрического тока. Таким образом, электромагнитная энергия из окружающего пространства вступает внутрь провода и в нем превращается в джоулево тепло.

II

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

§52.  Уравнение колебательного контура

1. Колебаниями в физике называют не только периодические или почти периодические движения тел, когда колеблющееся тело многократно повторяет одно и то же движение туда и обратно около определенного положения равновесия, а продают этому понятию более широкий смысл. Под колебанием по­нимают всякий периодический или приблизи­тельно перио­дический процесс, в котором значе­ния той или иной физической вели­чины повто­ряются точно или приближенно через равные или прибли­зительно равные промежутки времени.

Допустим, например, что прямоугольная рамка (рис. 52.1) равномерно вращается в по­стоянном однородном магнитном поле с постоянной угловой скоростью щ. Если S – площадь рамки, то пронизывающий ее магнитный поток будет Ф ~ BS cosб, где б – угол между на­правлением вектора магнитной индукции В и нормалью к плоскости рамки n. При равномер­ном вращении б = щt, Ф = Ф0cosщt, где Ф0 = BS. В рамке воз­буждается электродвижущая сила ℰind = - dФ/dt = ℰ0sinщt, и электрический ток ℑ = ℑ0 sinщt, где ℰ0, ℑ0 постоян­ные. Все эти выражения описывают колебательный процесс, в котором колеб­лющимися величинами являются магнитный поток Ф, электродви­жущая сила Ф и электрический ток ℑ.

Специфические закономерности колебательных явлений, опре­деляю­щие не мгновенные значения колеблющихся величин, а ха­рактеризующие колебательный процесс в целом, не зависят от того, какова физическая природа величин, совершающих колебания. Такие закономер­но­сти изучает теория колебаний, характеризующаяся единым подходом к колебаниям различной физической при­роды. В дальнейшем эта особенность колебатель­ных закономер­ностей будет проиллюстрирована на конкретных примерах.

В настоящей главе будут изучаться преимущественно электри­ческие и механические колебания.

2. Изучение электрических колебаний мы начнем с вывода уравнения колебательного контура. Так называется система, со­стоящая из последова­тельно соединенных конденсатора, катушки самоиндукции L и проводника с омическим сопротивлением R (рис. 52.2). Внешняя электродвижущая сила создает между полю­сами 1 и 2 определенное напряже­ние ℰ, вообще говоря, меняющееся с течением вре­мени. Одно из направле­ний при обходе контура тока при­­мем за положи­тель­ное. Оно обозна­чено на рис. 52.2 стрелка­ми. Ток считается положительным, если он те­чет по контуру в положительном направлении, и отрицательным в противном случае. Обозначим через q заряд той из обкладок конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпада­ет с положительным направлением кон­тура 1342. Применим к этому контуру уравнение Максвелла

  ∮Eℓdℓ  .  (52.1)

Мы пользуемся практическими единицами, которые при рассмот­рении электрических колебаний более удобны. Пусть выполнено условие квази­ста­цнонарности. Тогда, применяя к участку 13 закон Ома, найдем

где R – омическое сопротивление этого участка. Если сопротив­ление участка 42 пренебрежимо мало, то интеграл по пути 32 равен напряжению U между обкладками конденсатора.

Для квазистационарных процессов ˑ

Наконец, интеграл есть подводимое напряжение между полюсами 1 и 2, взятое с противоположным знаком:

В результате уравнение (52.1) примет вид

    (52.2)

Для квазистационарных токов Ф = Lℑ. Кроме того,

  ℑ = dq/dt,  (52.3)

так, что

    (52.4)

Это и есть уравнение колебательного контура. Если катушка само­индукции не деформируется (L = const), оно переходит в

    (52.5)

Механическим аналогом (52.5) может служить уравнение дви­жения груза на пружине (рис. 52.3). Если справедлив закон Гука, а при движении груза возникает диссипативная сила – бv, пропорциональная скорости v, учитывающая влияние среды, то уравнение движения имеет вид

    (52.6) 

где x – отклонение груза из положе­ния рав­но­ве­сия. Вели­чина – kx есть вос­ста­навли­вающая сила, F – проекция результирую­щей всех прочих сил, действующих на груз. Это уравнение отличается от (52.5) только обозначениями и физическим смы­слом входящих в него величин. Математически оба уравнения тождественны. В уравнении (52.5) роль отклоне­ния x играет заряд кон­денсатора q; массы m – самоиндукция L; коэффициента сопро­ти­вления среды б – электрическое сопротивление R; коэффициента упругости пру­жи­ны k – величина, обратная емкости, l/C; внешней силы F – внешняя электродвижущая сила ℰ. Оди­наковые уравнения должны иметь и одинаковые решения. Заметив это, допустим, что в уравнении (52.6) F = 0, а коэффициент со­противления б мал. Тогда, как хорошо известно из повсед­нев­но­го опыта, при отклонении груза из положения равновесия возникнут коле­бания, слабо затухающие во времени. При б = 0 затухания совсем не будет. Из математической тождественности уравнений (52.5) и (52.6) следует, что возникнут электрические колебания, если заряженный конденсатор зам­к­нуть через катушку самоиндукции. При этом заряд конденсатора будет меняться во времени по тому же закону, что и отклонение груза из положения равновесия. Если нет оми­чес­кого сопротивления, то электрические колебания в коле­бательном контуре будут незатухающими. При наличии сопротив­ления R колебания затухают.

И без обращения к уравнениям и механической аналогии нетрудно понять, почему в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания. Для простоты будем считать, что электрическое со­противленне колебательного контура равно нулю. Пусть в начальный момент верхняя пластинка конден­сатора заряжена положительно, нижняя – отри­цательно, а ток в колебательном контуре равен нулю (рис. 52.4а). В этот момент вся энергия колебательного контура сосредоточе­на в конденсаторе. При отсутствии внешних электродвижущих сил конден­са­тор начнет разряжаться, через катушку самоиндукции потечет электрический ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в маг­нитную энергию тока в катушке самоиндукции. Этот процесс закончится, когда заряд конденсатора обратится в нуль, а ток в контуре достигнет максимума (рис. 52.4б). Начиная с этого момента, ток, не меняя направления, начнет убы­вать. Однако он не сразу упадет до нуля, так как этому препятствует элек­тро­движущая сила индукции. Ток будет заряжать нижнюю пластинку конденсатора положительно, а верхнюю – отрицательно. Возник­нет электри­чес­кое поле, стремящееся ослабить ток. В конце концов, ток обратится в нуль, а заряд на конденсаторе достигнет максимума (рис. 52.4г). Тогда заряды на пластинках конденсатора по абсолют­ной величине станут такими же, что и в исходном положении а), только знаки их будут противоположными. После этого описанный цикл разрядки и зарядки конденсатора повторится снова. И если бы не было потерь энергии, то такое повторение  происходило бы неограниченно долго – в контуре совершались бы строго периодичес­кие не­за­тухающие электрические колебания.