Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 23 )

1Гн = 1Вб/А = 108Мкс/0,1CGSMJ = 109см.

4. Рассмотрим явления при замыкании и раз­мы­кании постоян­ного тока, обусловленные индуктив­но­стью цепи. Пусть цепь состоит из источника постоян­ной э. д.с. , катуш­ки самоиндукции и омичес­кого соп­ро­тив­ления (рис. 43.2). Полную индуктивность цепи обо­з­начим через L, a полное сопро­ти­вле­ние – через R. При замыкании клю­ча K ток достигает предельного значения /R не сразу, определяемого за­ко­ном Ома, а нарастает постепенно. При этом возрастает также магнит­ный по­ток, про­низы­ва­ющий кон­тур це­пи. Возникает электродвижущая сила ин­дукции и соответствующий ей индукционный ток. Этот ток назы­вается экстратоком замыкания. Согласно пра­ви­лу Ленца, направ­ление экстратока замыкания противоположно направ­ле­нию ос­новного тока.

Здесь мы рассмат­риваем такие переменные токи, которые меняются во времени сравнительно медленно. Т. е. считаем, что мгновенные значения токов во всех участках неразветвленной цепи с высокой степенью точности одинаковы, а магнитные поля внутри проводов могут вычисляться по закону Био-Савара, как если бы токи были постоянными. Такие токи называются квазистационарными, и для них справедливы формулы (43.3) и (43.4). В практических единицах сила тока определяется формулой

    (43.5)

Это – дифференциальное уравнение для квазистационарных токов. Его можно записать в виде

  (43.6)

Если за время изменения тока провода не деформируются, то индуктивность L постоянна и может быть вынесена из-под знака производной:

  (43.7)

При постоянном значении общее решение этого уравнения имеет вид

  (43.8) 

где постоянную интегрирования определяли из начального условия: ℑ(t = 0) = 0, а ф – постоянная, имеющая размерность времени:

ф = L/R.  (43.9)

Она называется временем установления тока. Формула (43.8) применима в любой системе единиц. Меняется только выражение для времени установ­ления тока. В гауссовой системе единиц ф = L/Rс2.

Полный ток (43.8) состоит из двух слагаемых, из которых второе определяет силу экстратока замыкания. При t →∞ экстраток стремится к нулю, а полный ток – к своему предель­ному значению /R. Таким образом, окончательное значение тока устанавливается постепенно. Быстрота установления определяется временем ф: по истечении времени ф сила экстратока убывает в е раз.

5. Исследуем теперь процесс размыкания тока. Схема опыта изобра­же­на на рис. 43.3. Ключ K сначала замкнут. Направления токов показаны спло­ш­ными стрелками. Общий ток распределяется между параллельно включен­ными самоиндукцией L и омическим сопро­ти­вле­нием R. Если внутреннее сопроти­в­ление батареи пре­небрежимо мало, то ток в катушке самоин­дукции будет равен ℑ0 =/r. После размыкания клю­ча K замкнутым останется только контур ABCD. Первоначальный ток, существовавший в катушке само­индукции, обладал определенной магнитной энергией, которая исчезает не сразу. Маг­нитное поле начнет убывать. Это возбудит электродвижущую силу в индукционный ток в контуре ABCD. Такой ток называется экстратоком размыкания. На рис. 43.3 его направление показано пун­к­тирными стрелками. В катушке самоиндукции экстраток течет в том же направлении, что и первоначальный ток, в остальных участках контура ABCD - в противоположном направлении. Если R – общее сопротивление контура ABCD, то сила тока из дифференциального уравнения

при начальном условии ℑ = ℑ0 при t = 0, получается в виде

  ℑ = ℑ0e-t/ф,  (43.10)

где ф определяется прежним выражением (43.9). Электродвижущая сила индукции равна

    (43.11)

Если R≫r, то эта величина может значительно превзойти э. д.с. батареи. В этом причина электрического пробоя, наблюдающегося иногда при выключении тока в цепях, содержащих большие индук­тивности.

6. Рассмотрим теперь два витка (или две катушки), по которым текут постоянные токи ℑ1 и ℑ2. Установим произвольно на этих витках положи­тель­ные направления обхода. Если в окружающем пространстве нет ферромагнетиков, то магнитные потоки через витки Ф1 и Ф2 пропорциональны токам и в практических единицах могут быть представлены в виде

  Ф1 = L11 ℑ1 + L12 ℑ2,  (43.12)

  Ф2 = L21 ℑ1 + L22 ℑ2.

Коэффициенты Lik не зависят от токов, а определяются только формой, размерами и взаимным расположением витков. Они называются коэффи­циен­та­ми индуктивности. Причем L11 есть индук­тивность первого, a L22 – второго витков. Оставшиеся два коэффициента – коэффициентами взаимной индукции. Они, разумеется, измеряются теми же единицами, что и коэффи­циен­ты самоиндукции.

§44. Магнитная энергия токов

1. Электрический ток обладает энергией, называемой магнитной. При ее вычислении можно полностью отвлечься от сопротивления проводов, по которым текут токи, полагая это сопротивление равным нулю. Это не может отразиться на общности результата, так как магнитная энер­гия может зависеть только от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств среды, заполняющей пространство. Считая же про­вода идеально проводящими, мы упростим рассуждение, так как в расчетах не надо будет учитывать потери энергии на джоулево тепло.

Рассмотрим сначала одиночный неподвижный замкнутый виток про­волоки. Пусть в начальный момент сила тока в нем равна нулю. Будем каким-либо способом создавать и наращивать ток в витке. Тогда будет нарастать и магнитный поток через виток Ф. Возникнет электродвижущая сила индукции. Элементарная работа, которую должен совершить внешний ис­точ­ник против электродвижущей силы индукции, будет

дАext = - ind ℑdt,

или, пользуясь соотношением (41.1),

  дАext = (ℑ/c) dФ.  (44.1)

Полученное соотношение носит общий характер. Оно справедливо и для феррoмагнитных материалов, так как при его выводе отно­сительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предпо­ложений. Однако если среда не обладает гистерезисом, в частности является пара - или диамагнитной, то работа дАext пойдет только на увеличение магнитной энергии  Wm, так что

  dWm = (ℑ/c) dФ.  (44.2)

Будем предполагать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда Ф = Lℑ/c, причем для неподвижного провода самоиндукция L остается постоянной. Используя это и интегрируя, получим

    (44.3)

Обобщая формулу (44.3) на случай произвольного числа витков, получим

  (44.4)

Здесь предполагается, что в процессе намагничивания магнитная проницаемость м оставалась постоянной. Только при этом условии связь между токами и магнитными потоками будет линейной. Считается также, что в процессе намагничивания температура проводов не меняется. Тогда Wm будет иметь смысл работы, совершаемой над системой при изотермическом и квазистатическом нарастании тока в проводах. Такая работа, как мы видели в термоди­намике, называется свободной энергией. Таким образом, формулы (44.3) и (44.4) в общем случае определяют не внутреннюю, а свободную магнитную энергию системы.

                       §45. Локализация магнитной энергии

Формулы (44.2) выражают магнитную энергию через токи и магнитные потоки. В таком виде величина (44.3) может рассмат­риваться как потенциальная энергия токов, взаимодействующих по закону Ампера. Это соответствует представлению о непосредст­венном действии на расстоянии. Но выражение для магнитной энергии можно преобразовать в другую форму, выражая через вектора В и H. Покажем это на примере длинного соленоида, по поверхности кото­рого циркулирует ток с линейной плотностью i = Nℑ/ℓ (ℓ – длина соленоида, N –число витков). Мы не будем пользоваться выражениями (44.3) для энергии токов, так как они справедливы лишь при условии, что векторы В и H связаны соотношением В = мH, а воспользуемся общей формулой (43.2), справедливость которой предполагает только, что между В и H существует какая-то однозначная, но не обязательно линейная, связь. Пренебрегая краевыми эффектами, можно написать для Н внутри соленоида H = 4рi/c = 4рNℑ/cℓ, откуда ℑ/c =  ℓH/4рN. Пусть S – площадь поперечного сечения соленоида. Тогда dФ = NSdB и, следовательно,

dWm = (ℑ/c) dФ = ℓSHdB/4р = VHdB/4р

(V = Sℓ – объем соленоида). Если wm – магнитная энергия, при­хо­дя­щаяся на единицу объема соленоида, то для ее дифференциала можно написать