Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 8 )

4. Для количественного описания поляризации диэлек­трика пользуются вектором поляризации. Так называется ди­польный момент единицы объема диэлектрика, возникающий при его поля­ризации. Возьмем кусок однородного диэ­лек­три­­ка, в форме косого па­раллелепипеда (рис. 9.3). Поместим его в од­но­­родное электрическое поле, направленное параллельно боковым ребрам. На основаниях параллелепипеда появятся поля­ри­зацион­ные заряды с поверхностной плотностью уp. На боковых гранях поляризационных зарядов не возникнет, так как смещение заря­дов внутри диэлектрика происходит парал­лель­но этим граням. Если S – площадь основания парал­ле­ле­пи­пе­да, то диэлектрик приобретет дипольный момент уpSℓ, где ℓ – вектор, про­ве­ден­ный от отрицательного к положи­тельному основанию параллелепипеда. Вектор поляризации будет

,  (9.1)

где V – объем параллелепипеда. Пусть n – еди­ничный вектор внеш­ней нормали к осно­ванию параллелепипеда, заря­женному положительно. Тогда V = Sℓn = Sℓcosб. Умножив формулу (9.1) скалярно на n, найдем

уp = (Pn) = Pn.  (9.2)

В частности, если параллелепипед прямоугольный, то уp = Р. Формула (9.2) была выведена применительно к поло­жи­тель­но заряженному основа­нию. Но она верна и для отрицательно заря­женного основания, так как на нем внешняя нормаль n направлена в противоположную сторону, а потому проекция Pn отрицательна. Формула справедлива и на боковой поверх­но­с­­ти параллелепипеда, так как на ней уp = 0, что согласуется с фор­мулой (9.2). Таким образом, формула (9.2) спра­ведлива в общем случае и показывает, что нормаль­ная составляющая Рп представляет по величине количество электричества, смещае­мое при поляризации через единичную площадку в на­правлении нормали к ней. Эта интерпретация примени­ма и в случае неод­нородной поляризации, т. е. когда вектор P меня­ется от точки к точке.

6. Как сказано выше, при неоднородной поляризации поля­риза­цион­ные заряды могут появляться не только на поверх­ности, но и в объеме диэлек­трика. Вычислим теперь плотность объемных поляризационных заря­дов. Вы­де­лим мысленно в диэлектрике произвольный объем V, ограничен­ный зам­кнутой поверхностью. Заряд, смещенный при поляризации через пло­­щадку dS в отрицательном направлении нормали n, согласно формуле (9.2), равен –PndS. Внутри объе­ма V поляризационный заряд будет

qp = - ∮PndS = - ∮(PdS).  (9.3)

Если поляризация однородна, то qp = 0.

§10. Теорема Гаусса для диэлектриков

1. Как выяснено в §9, влияние диэлектрика на электри­чес­кое поле сводится к действию поляризационных зарядов. Поэ­тому к диэлектрикам можно применить соотношение (3.6), до­бавив при этом к свободным зарядам q поляризационные заряды qp:

∮EndS = 4р(q + qp).  (10.1)

Подставив сюда значение qp из формулы (8.3), получим

∮(En + 4рPn) dS = 4рq.  (10.2)

Введем новый вектор

D = E + 4рP  (10.3)

и назовем его вектором электрической индукции. Тогда

∮DndS = 4рq.  (10.4)

Это и есть теорема Гаусса для диэлектрика. Мы видим, что по­ток вектора D через замкнутую поверхность определяется толь­ко свободными зарядами. Этим и оправдыва­ется введение вектора D.

В вакууме векторы D и Е совпадают.

2. В дифференциальной форме формула (10.4) имеет вид

  divD = 4рс,  (10.5)

где с – объемная плотность свободных зарядов. Напом­ним, что теоремы (10.4) и (10.5) справедливы не только в электро­ста­тике. Они постулируются также для переменных во времени полей. Эти теоремы входят как составные части в систему фун­да­­ментальных электродинамических уравнений Максвелла. Подставив в (10.5) выражение (10.3), получим

divE = 4р(с - divP).

Но для той же величины можно написать

divЕ = 4р(с + сp).

Следовательно,

  сp = - divP.  (10.6)

3. Теорема Гаусса для вектора индукции в диэлектрике имеет такой же вид, как и для напряженности электрического по­ля в вакууме. Поэтому все математические соотношения, по­лученные из нее для вакуума, сохраняют силу и для одно­род­ного диэлек­трика. Надо только вектор E заменить век­тором D. Таким путем из формул (4.1) - (4.3) и (4.5) получаем, напри­мер,

Вектор индукции поля точечного заряда в однородном диэлектрике определяется выражением  D = qr/r3.

§11. Граничные условия

1. Из соотношения (5.5) мы получили граничное условие (6.5), которому должны удовлетворять нормальные составляю­щие вектора Е на заряженной поверхности. Поступая так же, из теоремы Гаусса для диэлектриков (10.4) получаем следующее условие на границе раздела двух диэлектри­ков:

  D2n - D1n = 4ру,  (11.1)

где у – поверхностная  плотность свободных зарядов на этой гра­нице.

Отличие (11.1) от аналогичной формулы (6.5) обусловлено влиянием поляризационных зарядов, появляющихся на грани­це диэлектриков. Поверхностная плотность поля­риза­цион­ных зарядов равна уp = Р1п - Р2п (рис. 11.1). Учиты­вая ее, по­лу­чаем E2n - E1n = 4р(у + уp), или

(E2n + 4рP2n) – (E1n + 4рP1n) = 4ру,  (11.2)

которая тождественна с (11.1).

В частности, вектор индукции в диэлектрике на границе с провод­ни­ком определяется выражением

D = 4руn.  (11.3)

Здесь единичная нормаль n проведена от металла к диэлек­три­ку.  Если на границе раздела нет свободных зарядов, то

  D2n = D1n.  (11.4)

Таким образом, при переходе через незаряженную границу двух диэлектриков нормальная составляющая вектора D остается непре­рывной. Что касается вектора E, то на любой грани­це остаются непрерывными его тангенциальные составляю­щие.

§12. Поляризуемость и диэлектрическая проницаемость

1. Одним из фундаментальных уравнений электростатики явля­ется тео­рема Гаусса (10.4) или (10.5). Второе фундамен­тальное уравнение электростатики будет сформулировано в §13 при введе­нии потенциала поля. В вакууме, где поле харак­теризуется одним только вектором E, этих уравнений доста­точно. Они обра­зуют полную систему уравнений электро­ста­ти­ки. В ве­ществе к век­тору E надо добавить еще один вектор (P или D). Поэтому ура­в­не­ния электростатики надо дополнить еще одним векторным уравне­нием, связывающим вектора P и Е. Уни­вер­сальной связи между векторами P и Е, пригодной для всех веществ, не существует.

2. Для обширного класса диэлек­три­ков и широкого круга явлений связь между векторами P и E линейна и однородна. Такая закономерность объясняется тем, что напря­женности макроскопичес­ких электрических полей обычно очень малы по сравнению с напряжен­нос­тями микро­по­лей внутри ато­мов и молекул. Если среда изотропна, то век­торы P и E коллинеарны и можно на­пи­сать

P = бE,  (12.1)

где б – безразмерный коэффициент, называемый поляри­зуе­мостью диэлек­трика. Он зависит от плотности и темпе­ратуры диэлектрика. Связь между D и E, с учетом (12.1) и (10.3), записывается в виде

D = еE,  (12.2)

где новая безразмерная величина

е = 1 + 4рб  (12.3)

называется диэлектрической проницаемостью. Этой величиной и характе­ризуются индивидуальные свойства диэлек­три­ков. Для вакуума б = 0, е = 1.

3. Все приведенные приближенные соотношения, несмотря на их важность, не относятся к числу фундаментальных соотношений электроста­тики и электродинамики. Область при­ме­нимости их ограничена. Существу­ют диэ­­лектрики, к кото­рым они непри­менимы. Мы указывали уже, что ионные крис­таллы могут быть поляризованы даже в отсутствие внешнего электрического поля. Другим примером тел, обладающих тем же свойством, являются электреты. Эти диэлектрики подобны постоян­ным магнитам. Они дли­тельно сохраняют состояние поляри­за­ции и благодаря этому создают электрическое поле в окружающем пространстве. Приб­лиженно пове­дение электретов и аналогичных им диэлектриков в электри­ческом поле можно описать соотношением вида

P = P0 + бE,  (12.4)

где величины P0 и б от напряжен­нос­ти поля E не зависят.

Еще более сложные явления наблюдаются в так называемых сегне­то­э­лек­три­ках. Здесь связь между векторами P и E нелинейно и зависит от пред­шес­тву­ющей истории изменения поля. Прос­тей­ший случай, когда примени­мы формулы (12.1) и (12.2), являет­ся довольно распространенным и практи­чески наи­более важным. В дальнейшем, если не оговорено против­ное, мы бу­дем иметь дело именно с таким случаем.

4. Рассмотрим теперь поведение силовых линий при про­хож­де­нии че­рез границу раздела двух диэлектриков (рис. 12.1). Ес­ли на границе раздела нет свободных зарядов, то долж­ны вы­полняться граничные условия

E1ф = E2ф ;  е1E1n = е2E2n.

Если ввести углы в1 и в2 между силовыми линиями и нормалью к границе раздела, то эти условия можно записать в виде

E1sin в1 = E2 sin в2,  е1E1 cos в1 = е2E2 cos в2.

Из них получаем

tg в1/ tg в2 = е1/ е2.  (12.5)

Отсюда видно, что при переходе через границу раздела двух ди­элек­три­ков силовые линии испытывают преломление. При пере­ходе из диэлектрика с меньшим значением е в диэлек­трик с большим е, угол в увеличивается. При этом силовая ли­ния удаляется от нормали к гра­нице раздела. С этим свя­зана кон­центрация (сгущение) силовых линий в диэлек­трике с боль­­шей диэлектрической проницаемостью (рис. 12.2а, б).