Электричество и магнетизм колебания и волны задачи (стр. 26 )

∂с/∂t = 1/4р div(∂D/∂t),

или ввиду уравнения (49.1)

div[j + 1/4р(∂D/∂t)] = 0.  (49.5)

Величину

j* = 1/4р∂D/∂t  (49.6)

Максвелл назвал током (точнее, плотностью тока) смещения, а сумму j + j* – полным током. Таким образом,

  div(j + j*) = 0,  (49.7)

т. е. полный ток всегда соленоидален. Поэтому противоречие с уравнением (49.1) устранится, если в уравнении (49.4) ток проводимости j заменить полным током, т. е. написать

  rotH = (4р/c)(j + j*).  (49.8)

Приведенные рассуждения ни в какой мере не могут служить доказательством уравнения (49.8). На них следует смотреть только как на один из бесконечного множества способов устранения математического противоречия между уравнениями (49.1) и (49.4). А что таких способов бесконечно много, видно уже из того, что не возникнет новых математических противоречий, если в правой части уравнения (49.8) добавить произвольный вектор, дивергенция которого равна нулю. Настоящим доказательством уравнения (49.8) могут служить только опытные факты, подтверждающие это уравнение.

3. К необходимости обобщения уравнений (49.3) и (49.4) можно прийти также с помощью других соображений. Приведем пример.

Соединим проводом обкладки плоского заряженного конденсатора (рис. 49.1). По проводу потечет электрический ток. Допущение, что в этом слу­чае применима формула (49.3), снова приводит к трудностям. Циркуляция вектора H, стоящего в левой части уравнения (49.3), зависит только от формы и расположения контура L. Она – величина вполне определенная. Между тем ток ℑ, стоящий в правой части того же уравнения, таким свойством не обладает.  Для определения ℑ надо мысленно натянуть на контур L какую-то поверхность S и найти пронизывающий ее ток. Однако сила переменного тока может меняться вдоль провода. В этих случаях величина ℑ будет зависеть от того, в каком месте поверхность S пересекается с проводом. С особой отчетливостью указанная неопределенность проявится, если поверхность S провести между обкладками конденсатора, нигде не пересекая провода. Тогда ℑ = 0. Для устранения неопределенности к току ℑ в уравнении (49.3) надо добавить какое-то слагаемое ℑ*, чтобы сумма ℑ + ℑ* не зависела от выбора вспомогательной поверхности S. Токи, удовлетворяющие этому условию, называются замкнутыми. Замкнутость токов не следует понимать в смысле замкнутости линий тока. Формальное содержание гипотезы Максвелла сводится к утверждению, что полные токи всегда замкнуты. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.

Идеализируя систему, можно сказать, что по проводу течет только ток проводимости ℑ, а через конденсатор – только ток смещения ℑ*. Ток смещения дополняет ток проводимости до замкнутого тока. Поэтому ток проводимости в проводе должен быть равен току смещения в конденсаторе: ℑ* = ∂q/∂t, где q – заряд на пластине конденсатора: q = уS = SD/4р. Дифференцируя по времени и разделив на S, снова получаем (49.8).

Токи смещения существуют только там, где меняется электрическое поле (точнее, электрическая индукция D). Поэтому физическое содержание гипотезы Максвелла о токах смещения сводится к утверждению, что переменные электрические поля являются источниками магнитных полей. Это открытие принадлежит всецело Максвеллу. Оно вполне аналогично открытию электромагнитной индукции, согласно которому переменные магнитные поля возбуждают поля электрические.

§50. Система уравнений Максвелла

1. Дополнив основные факты из области электромагнетизма установлением магнитных действий токов смещения, Максвелл смог написать систему фундаментальных уравнений электродинамики. Таких уравнений четыре. В интегральной форме:

  ∮Hdℓ = 4р/с ∫[ j + 1/4р div(∂D/∂t)]dS,  (50.1)

  ∮Edℓ = - 1/c∫(∂B/∂t)dS.  (50.2)

  ∮DdS = 4р∫сdV,  (50.3)

  ∮BdS = 0.  (50.4)

В дифференциальной форме

  rotH = 4рj/с + (1/c)∂D/∂t.  (50.5a)

  rotE = - (1/c)∂B/∂t  (50.2а)

  divD = 4рс,  (50.3а)

  divB = 0.  (50.4а)

В число фундаментальных не включено уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда, так как это уравнение является следствием уравнений (50.1) и (50.3).

Уравнения Максвелла показывают, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо магнитные поля, меняющиеся во времени. Магнитные же поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения не симметричны относительно элек­трического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но, насколько известно в настоящее время, нет магнитных зарядов. Стремление достигнуть симметрии уравнений электродинамики заставило Дирака выдвинуть гипотезу о существовании магнитных зарядов – единичных магнитных полюсов, или монополей. Логических возражений против такой гипотезы нет. Если бы она оправдалась, то потребовалось бы обобщение уравнений Максвелла. К источникам магнитного поля добавились бы магнитные заряды, а к источникам электрического поля – магнитные токи, обусловленные движением таких зарядов. Справедливость же самих уравнений Максвелла была бы ограничена теми областями пространства, в которых нет магнитных зарядов и магнитных токов. Однако многочисленные попытки экспериментально обнаружить магнитные монополи не привели к положительному результату. 

2. Уравнения Максвелла в интегральной форме справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва, на которых свойства среды или напряженности электрического и магнитного полей меняются скачкообразно. Поэтому в этой форме уравнения Максвелла обладают большей общностью, чем в дифференциальной форме, которая предполагает, что все величины в пространстве и во времени меняются непрерывно. Можно, однако, достигнуть полной математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла. Для этого надо дифференциальные уравнения дополнить граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия содержатся в интегральной форме уравнений Максвелла и имеют вид

D2n – D1n = 4ру,  (50.5)

B2n = B1n,  (50.6)

E2ф = E1ф,  (50.7)

H2ф - H1ф =4рi/c.  (50.8)

Здесь у – поверхностная плотность электрических зарядов, а i –по­верх­ностная плотность тока проводимости на рассматриваемой границе раздела. В частном случае, когда поверхностных токов нет, последнее условие переходит в

  H2ф = H1ф.  (50.9)

На уравнения Максвелла следует смотреть как на основные аксиомы электродинамики, полученные путем обобщения опытных фактов.

3. Фундаментальные уравнения Максвелла в форме (50.1) – (50.4) или (50.1а) – (50.4а) не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля. Необходимо дополнить эти уравнения такими соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называются материальными уравнениями. Принципиальный способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электропроводности среды. Наиболее просты материальные уравнения в случае слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения могут быть записаны в виде

  D = еE,  (50.10)

  B = мH,  (50.11)

  j = лE,  (50.12)

где е, м, л – постоянные, характеризующие электромагнитные свойства среды. Они называются диэлектрической и магнитной проницаемостью и электропроводностью среды.

Когда поля стационарны (∂D/∂t = ∂B/∂t = 0), уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений. Первую группу составляют уравнения электростатики

  rotE = 0, divD = 4рс,  (50.13)

вторую – уравнения магнитостатики

  rotH = 4рj/с, divB = 0.  (50.14)

В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга. Источниками электрического поля будут только электрические заряды, источниками магнитного поля – только токи проводимости.

§51. Энергия и поток энергии

1. Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, выражающими закон сохранения энергии. Пусть среда, в которой возбуждается электромагнитное поле, неподвижна. При изменении электромагнитного по­ля и прохождении электрического тока в единице объема совершается элементарная внешняя работа

  дАext = (EdD + HdB)/4р + (jE)dt.  (51.1)

Хотя отдельные слагаемые этого выражения были получены в электро­статике и в учении о магнитных полях постоянных токов, выражение (51.1) рассматривается как один из постулатов макроскопической теории электричества и применяется также для переменных полей.

Работа (51.1) идет на приращение внутренней энергии среды. Если ϵ – внутренняя энергия единицы объема среды, то дАext = dϵ, или

∂ϵ/∂t = (E∂D/∂t + H∂B/∂t)/4р + (jE).  (51.2)

Под ϵ мы понимаем плотность всей внутренней энергии, а не только электромагнитную часть ее. Поэтому уравнение (51.2) справедливо для любых сред, в том числе ферромагнитных и сегнетоэлектрических. Оно учитывает не только джоулево тепло (слагаемое jE), но и тепло ферромагнитного и диэлектрического гистерезиса. Используя уравнения Максвелла (50.1а) и (50.2а), преобразуем правую часть (51.2) к виду

В силу известного векторного тождества

Е rot Н - Н rot E = - div [EH].

Поэтому, если ввести обозначение

    (51.3)