Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 11 )

2.1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

3x - 2у - 7 = 0 и x + 3y - 6 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

2.2. Найти проекцию точки A(-8, 12) на прямую, проходящую через точки B(2, -3) и C(-5,1).

2.3. Даны две вершины треугольника ABC: A(-4, 4), В(4, -12) и точка М(4, 2) пересечения его высот. Найти вершину С.

2.4.Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой 2y - x = 3.

2.5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(2, -3) и точку пересечения прямых 2x - y = 5 и x + y = 1.

2.6. Доказать, что четырехугольник ABCD - трапеция, если A(3, 6), В(5, 2),

С(-1, -3), D(5,5).

2.7. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A(3, 1) перпендикулярно к прямой BC, если В(2, 5), С(1, 0).

2.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(-2, 1) параллельно прямой MN, если M(-3, -2), N(1, 6).

2.9. Найти точку, симметричную точке M(2, -1) относительно прямой

x - 2у + 3 = 0.

2.10.  Найти точку O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, если

A(-1, -3), B(3, 5), С(5,2), D(3, -5).

2.11. Через точку пересечения прямых 6x - 4у + 5 = 0, 2x+ 5y + 8 = 0 провести прямую, параллельную оси абсцисс.

2.12. Известны уравнения стороны AB треугольника ABC 4x + y = 12, его высот BH 5x - 4y = 12 и AM x + y = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольника AВС.

2.13. Даны две вершины треугольника AВС: A(-6, 2), B(2, -2) и точка пересечения его высот H(1,2). Найти координаты точки M пересечения стороны AС и высоты BH.

2.14. Найти уравнения высот треугольника ABC, проходящих через вершины

А и В, если А(-4, 2), В(3, -5), C(5, 0).

2.15. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2, 3), В(0, -3), С(6,3).

2.16. Составить уравнение высоты, проведенной через вершину А треугольника ABC, зная уравнения его сторон: АВ - 2х - у - 3 = 0, АС - x + 5y - 7 = 0,

ВС - 3x - 2у + 13 = 0.

2.17. Дан треугольник c вершинами А(3, 1), В(-3, -1) и С(5, -12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведенной из вершины С.

2.18. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + 5у - 8 = 0 и 2x + 3y + 4 = 0.

2.19. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3x + 5у - 15 = 0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

2.20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х - у = 0, х + 3у = 0, х - у - 4 = 0, 3х + у - 12 = 0. Найти уравнения его диагоналей.

2.21. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника ABC, если A(4, 6), В(-4, 0), С(-1, -4).

2.22. Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.

2.23. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 45°, б) 90°, в) 0°.

2.24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками

А(- 6, -6) и В(3, -1) и имеющая абсциссу, равную 3?

2.25. Через точку пересечения прямых 2х - 5у - 1 = 0 и х + 4у - 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок между точками A(4, -3) и B(-1, 2) в отношении = 2 / 3.

2.26. Известны уравнения двух сторон ромба 2х -5у - 1 = 0 и 2x - 5у - 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х + 3у - 6 = 0. Найти уравнение второй диагонали.

2.27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(3,1), В(7, 5) и С(5, -3).

2.28. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1, 1) под углом 45° к прямой 2x + 3y = 6.

2.29. Даны уравнения высот треугольника ABC 2x - 3y + 1 = 0, х + 2у + 1 = 0 и координаты его вершины А(2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

2.30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - 2у = 0, x - у - 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3, -1). Найти уравнения двух других сторон.

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить при нахождении уравнения прямых.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул для уравнений прямых;

- доступность и наглядность информации при нахождении уравнений прямых;

- использование технических средств для осуществления расчетов;

- использование чертежа для наглядного представления информации уравнений прямых;

- правильное решение задач при использовании уравнений прямых на плоскости.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.2. Овладение знаниями об основах аналитической геометрии

Название практической работы № 17, 18. Решение задач на составление уравнений плоскости.

Учебная цель: формировать умение решать основные типы задач по составлению уравнений плоскости: проходящих через точку параллельно плоскости, перпендикулярно прямой, через три точки.

Учебные задачи:

1.  Научиться выполнять задачи по составлению уравнений плоскости;

2.  Уметь рассчитывать задачи по составлению уравнений плоскости: проходящих через точку параллельно плоскости, перпендикулярно прямой, через три точки. Уметь построить геометрический чертеж по заданным значениям.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

знать:

- основы аналитической геометрии;

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на составление уравнений плоскости.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 576 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой, линейка.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы

Плоскость

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Сформулируем следующую задачу:

Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку M(x0, y0, z0) перпендикулярно данному вектору = {A, B, C} .

Решение. Пусть P(x, y, z) - произвольная точка пространства. Точка P принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор

MP = {x − x0, y − y0, z − z0} ортогонален вектору = {A, B, C} (рис.1).

Написав условие ортогональности этих векторов (, MP) = 0 в координатной форме, получим: (x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 (1)

Это и есть искомое уравнение. Вектор = {A, B, C} называется нормальным вектором плоскости.

Таким образом, чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать нормальный вектор плоскости и какую-нибудь точку, принадлежащую плоскости.

Общее уравнение плоскости

Если теперь в уравнении (1) раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости: , где D = −Ax0 – By0 – Cz - в трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается уравнением 1-ой степени (линейным уравнением). И обратно, любое линейное уравнение определяет плоскость.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

Ах+Ву+Сz=0 (D=0) - плоскость проходит через начало координат;

Ах+Ву+D=0 (C=0) - плоскость параллельна оси Oz (аналогичный смысл имеют уравнения Ах+Сz+D=0, By+Cz+D=0);

Ах+Ву=0 (D=C=0) - плоскость проходит чрез ось Oz (Ax+Cz=0, By+Cz=0 - через оси Oy и Ox, соответственно);

Ax+D=0 (B=D=0) - плоскость параллельна плоскости Oyz (Cz+D=0, By+D=0- параллельно плоскости Oxy и Oxz, соответственно);

Ax=0, т. е. х=0 (В=С=D =0) - плоскость совпадает с плоскостью Oyz (y=0, z=0 - уравнения плоскостей Oxz и Oxy, соответственно).

Уравнение плоскости в отрезках: x/a+y/b+z/c=1, где а, b, c - абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения с плоскостью координатных осей Ox, Oy, Oz, соответственно.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3):