Второй замечательный предел
Часто используются следующие следствия из обоих замечательных пределов:
;
, 
, 
Бесконечно малые функции
Функция a(x) называется бесконечно малой при х
х0, если 
Если функция f(x) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции a(х), т. е. если 
то f(x) = A+a(x).
Пусть a(х) и b(х) - бесконечно малые функции при хх0. Тогда, если 
то a(х) и b(х) называются эквивалентными бесконечно малыми, что обозначается так: a(х) ~ b(х), хх0.
При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х0:
Sinx ~ x, 1- Cosx ~ 
, tgx ~ x, arcsinx ~ x, ln(1+x) ~ x, 
~ x.
Бесконечно большие функции
Функция f(x) называется бесконечно большой при хх0, если для любого числа М>0 существует число d = d(М) >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<
<d, выполняется неравенство 
>М. Записывают 
или f(x) 
при хх0.
Примеры.
.
Вопросы для закрепления теоретического материала
к практическому занятию:
1. Дайте определения предела функции в точке.
2. Сформулировать свойства пределов.
3. Сформулируйте первый и второй замечательный пределы.
Задания для практического занятия:
Задание 1. Доказать, что
, используя а) первое определение предела функции; б) второе определение предела функции.
Задание 2. Используя второе определение предела функции, доказать, что:
а) 
; б) 
Задание 3. Используя свойства пределов функций, найти следующие пределы:
а) 
; б) 
в) 
; г) 
Задание 4. Найти пределы. k – порядковый номер в журнале
, 
Задание 5. Используя свойства пределов функций и первый замечательный предел, найти следующие пределы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
Задание 6. Используя свойства пределов функций и второй замечательный предел, найти следующие пределы (номер варианта совпадает с номером студента по списку):
6.1. 
6.2. 
6.3. 
6.4. 
6.5. 
6.6. 
6.7. 
6.8. 
6.9. 
6.10. 
6.11. 
6.12. 
6.13. 
6.18. 
6.19. 
6.20. 
6.21. 
6.22. 
6.23. 
6.24. 
6.25. 
6.26. 
6.27. 
6.28. 
6.29. 
6.30. 
Задание 7. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции (номер варианта совпадает с номером студента по списку).
7.1. 
7.2. 
7.3. 
7.4. 
7.5. 
7.6. 
7.7. 
7.8. 
7.9. 
7.10. 
7.11. 
7.12. 
7.13.
7.14. 
7.15. 
7.16. 
7.17.
7.18. 
7.19.
7.20. 
7.21.
7.22. 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 |
