Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 6 )

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями.

Свойства линейных операций с векторами.

Для любых векторов , , и любых чисел α, β:

.

.

. ( - нулевой вектор)

. ( - противоположный вектор);

.

.

.

Условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. существует число α ≠ 0 такое, что

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Пусть даны ось l и вектор = . Обозначим через A¢ и B¢ соответственно проекции точек A и B на ось l.

В

 

А

А¢ В¢ l

 

Проекцией вектора на ось l (обозначение прl) называется число, равное длине вектора , взятой со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси l, и со знаком минус – в противном случае. Аналогично определяется проекция вектора на вектор.

Свойства проекции вектора на ось

1.  прl = êêcosj, где j - угол между вектором и осью l;

2.  прl (+ ) = прl + прl ;

3.  прl (k) = k прl .

Пример. Пусть , и - векторы, составляющие с осью l соответственно углы и , причем êê= 1, êê= 2, êê= 3. Найти проекцию вектора 3- + 5на ось l.

Решение. По свойству 1 проекций имеем

прl = êêcos= , прl = ½b1êcosp = 2(-1) = -2,

прl= êêcos= 3= .

Согласно свойствам 2 и 3 проекций находим

прl (3- + 5) = 3прl - прl + 5 прl = + 2 - = -4.

Разложение вектора по координатным осям Оx, Оy и Оz записывается в виде = x+ y+ zили = (x, y, z), где x, y, z - проекции на оси Оx, Оy, Оz; , , - единичные векторы (орты), совпадающие по направлению с этими осями. Проекции x, y, z называются координатами вектора.

Длина вектора = (x, y, z), вычисляется по формуле

.

Если a, b, g - углы между вектором = (x, y, z) и осями Оx, Оy, Оz, то cosa, cosb, cosg называется направляющими косинусами вектора и вычисляется по формулам

.

Если известны координаты точек A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), то

= (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).

Расстояние между двумя точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) вычисляется по формуле

.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними

× = ||||cosj.

Свойства скалярного произведения

1. × = × ;

2. × (+ ) = ×+×;

3. (l)×= (l)= l(×) (сочетание значений по отношению к скалярному произведению);