Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 14 )

7. Установить взаимное расположение прямой и плоскости:

а) и 5x-6y+2z-10=0

б) и 3x+y-4z-15=0

8. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной к плоскости 3x+4y-5z-6=0

9. Найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью 3x-y+2z+5=0

10. Найти координаты проекции точки М(2;2;-2) на плоскость 3x-y+z-13=0

11. Найти координаты проекции точки М(-3;0;2) на прямую

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить к данной задаче.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул для уравнений прямых и плоскостей;

- доступность и наглядность информации при определении взаимного расположения прямых и плоскостей;

- использование технических средств для осуществления расчетов;

- правильное решение задач при использовании уравнений прямых и плоскостей.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.2. Овладение знаниями об основах аналитической геометрии

Название практической работы № 25-28. Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости.

Учебная цель: формировать умение решать основные типы задач по составлению уравнений кривых второго порядка (окружности, эллипса, параболы, гиперболы) и их построению.

Учебные задачи:

1.  Научиться определять тип кривой второго порядка по уравнению и находить их параметры.

2.  Уметь рассчитывать задачи по составлению уравнений кривых второго порядка (окружности, эллипса, параболы, гиперболы) и их строить.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- решать задачи, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости;

знать:

- основы аналитической геометрии;

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Решить задачи на составление уравнений кривых второго порядка, их построение.

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 576 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой, линейка.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы:

Кривые второго порядка

Окружность

Окружностью называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением x2+y2=R2 , где R>0 - радиус окружности. Это уравнение называется каноническим уравнением окружности, а система координат, в которой окружность описывается каноническим уравнением, называется канонической. В канонической системе начало координат является центром окружности (рис. 1).

Уравнение (x − a)2 + (y − b)2 = R2 определяет окружность радиуса R с центром в точке O'(a, b).

Эллипс

Эллипсом называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением:

где a>0 , b>0 - параметры эллипса. Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а система координат, в которой эллипс описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В канонической системе оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат - его центром симметрии. Следовательно, мы можем ограничиться исследованием функции

(1) при x ≥ 0 , y ≥ 0 , т. е. рассматривать часть эллипса, лежащую в первой четверти, а затем полученную кривую отразить симметрично относительно осей координат.

Область определения функции (1): 0 ≤ x ≤ a, область значений функции(1): 0 ≤ y ≤ b, т. е. весь эллипс лежит внутри прямоугольника |x| ≤ a, |y| ≤ b. Вычислив производные y' и y'', легко убедиться в том, что функция (1) в интервале x Î (0, a) убывает от b до нуля и ее график является выпуклым вверх (рис.1).

Отразив полученный график функции (1) симметрично, относительно осей координат, получаем искомый эллипс (рис. 2):

Точки пересечения эллипса с осями координат ( ± a, 0) и (0, ± b) называются вершинами эллипса, а соответствующие отрезки a и b - полуосями эллипса. Пусть a>b. Положим: .

Точки F1( −c, 0) и F2(c, 0) называются фокусами эллипса (если a<b, то и фокусы эллипса расположены на оси OY ).

Эксцентриситетом e эллипса называется отношение расстояния между фокусами 2с к большой оси 2а: (e<1, т. к. с<а ).

В частном случае a = b = R (e=0) эллипс является окружностью с уравнением Х2+ y2 = R2.

Гипербола

Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением:

, где a>0 , b>0 - параметры гиперболы. Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

Заметим, что в канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат - ее центром симметрии. Следовательно, мы можем ограничиться исследованием функции:

(2) при a ≤ x< + ∞, y ≥ 0, т. е. рассматривать часть гиперболы, лежащую в первой четверти, а затем полученную кривую отразить симметрично относительно осей координат.

Область определения функции (2): a ≤ x< + ∞, область значений функции (2): 0 ≤ y< + ∞. Вычислив производные y' и y'' , легко убедиться в том, что функция (2) в интервале x Î (a, + ∞) возрастает от нуля до + ∞ и ее график является выпуклым вверх. Прямая y = bx/a является асимптотой гиперболы при x → + ∞ (рис.1).

Отразив полученный график функции (2) симметрично, относительно осей координат, получаем искомую гиперболу (рис. 2)

Точки пересечения гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы (с осью OY гипербола не пересекается), отрезки a и b - полуосями гиперболы (а-действительная, -мнимая). Положим .

Точки F1(−c, 0) и F2(c, 0) называются фокусами гиперболы. e= (e>1)-эксцентриситет гиперболы.

Замечания. 1) Если а=в, то гипербола называется равносторонней. Ее уравнение принимает вид: .

- если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то уравнение гиперболы имеет вид

- уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид: где - координаты центра гиперболы.

Парабола

Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением:

У= 2px, (1) где p>0 - параметр параболы. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.