Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 22 )

Рис. 1. Непрерывная функция

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в любой точке области определения, т. е. в любой точке .

Решение. Дадим аргументу приращение в точке и найдем приращение функции :

Следовательно,

.

Таким образом, , а это и означает, что функция непрерывна в точке .

Пример 2. Исследовать на непрерывность в точке следующие функции:

а) ; б) в) .

Решение. а) Функция определена в окрестности точки , но в самой точке она не определена, следовательно, в этой точке она не является непрерывной (не выполнено первое условие непрерывности).

б) Для исследования на непрерывность воспользуемся определением 2. В точке функция определена ( ), т. е. первое условие непрерывности выполнено; второе условие также выполняется: ; ; третье условие непрерывности не выполняется, так как . Следовательно, данная функция также не является непрерывной в точке .

в) Функция является непрерывной в точке , так как выполнены все три условия непрерывности: она определена в точке и ее окрестности; существуют односторонние пределы , ; эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке : .

Свойства функций, непрерывных в точке:

1)  Если функции и непрерывны в точке , то функции , (с – постоянная), и (при условии что ) также непрерывны в точке .

2)  Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

2. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т. е. , а в точке b непрерывна слева, т. е. ).

Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1)  Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).

2)  Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса).

3)  Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши).

3. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если – точка разрыва функции , то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:

1)  Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке . Так функция , рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке , так как не определена в этой точке.

2)  Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и , но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но , так как , а .

3)  Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и , они равны между собой, но не равны значению функции в точке : . Например, функция . Здесь – точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и , равные между собой, но , т. е. .