Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 23 )

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке .

Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , они равны между собой: , но сама функция не определена в точке , или определена, но .

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов ( или ) не существует или равен бесконечности.

Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б)

Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах , и , так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т. е. точки и . Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции:

.

Для точки находим:

,

, .

Таким образом, имеем: . Следовательно, в точке наша функция является непрерывной.

График данной функции изображен на рис.2.

Рис. 2. График представленной функции

Решение. б) В точке функция меняет свое аналитическое задание, следовательно, в этой точке возможен разрыв. Найдем односторонние пределы:

,

,

Так как , то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: .

В точке функция не определена, значит точка является точкой разрыва. Определим ее тип:

, .

Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1. Какие величины называют бесконечно малыми одного порядка малости?

2. Какие величины называют эквивалентными бесконечно малыми?

3. Какая функция называется непрерывной в точке?

4. Сколько известно вам точек разрыва функции, какие?

Задания для практического занятия:

Задание 1. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики. Найти скачок функции в точках разрыва (номер варианта совпадает с номером студента по списку).

1.1. 1.2.

1.3. 1.4 .

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15. 1.16.

1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

1.21. 1.22.

1.23. 1.24.

1.25. 1.26.

1.27. 1.28.

1.29. 1.30.

Задание 2. Установить характер разрыва функции в точке x0 (номер варианта совпадает с номером студента по списку):

2.1.  , x0=2

2.2.  , x0= -4

2.3.  , x0= 0

2.4.  , x0= 1

2.5.  , x0= 3

Задание 3. Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках (номер варианта совпадает с номером студента по списку):

3.1. 3.2.

3.3. 3.4. f(

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.