Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 3 )

А33 = (-1)3+3

Тогда

А-1=.

Проверим, правильно ли найдена матрица А-1:

A×А-1 =

Проверка показывает, что обратная матрица найдена, верно.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется порядок ее наивысшего минора отличного от нуля.

Если ранг матрицы равен r, то это означает, что в матрице А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r равен нулю.

Ранг матрицы А обозначают r(А).

При определении ранга матрицы приходится вычислять большое число определителей. Чтобы облегчить этот процесс, пользуются элементарными преобразованиями матриц, которые не изменяют ее ранга.

Элементарные преобразования матрицы

1. Перестановка строк (столбцов);

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число;

4. Отбрасывание строк (столбцов), все элементы которых равны нулю.

Пример. Вычислить ранг матрицы, используя определение

Решение. Среди миноров первого порядка есть отличные от нуля, так как матрица не нулевая. Среди миноров второго порядка есть также миноры, отличные от нуля, например стоящий в левом верхнем углу.

Найдем: Δ миноры третьего порядка, заключающие минор

Минор второго порядка , а все миноры более высоких порядков равны нулю, значит, ранг матрицы r(A) = 2.

Пример. Вычислить ранг матрицы из предыдущего примера с помощью элементарных преобразований.

Решение.

Так как минор второго порядка , а все миноры более высоких порядков равны нулю, то ранг матрицы r(A) = 2.

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать?

2. Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную?

3. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица?

4.Если матрицы А и С можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать?

5.Могут ли совпадать матрицы А и АТ?

6. Как выглядит матрица (АТ)Т?

7.Могут ли быть эквивалентными матрицы с различным количеством строк? столбцов?

8. Всегда ли определитель суммы матриц равен сумме их определителей?

9. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы А =(aij) быть равны соответствующим минорам ( Аij= aij)?

10. Может ли определитель изменить знак на противоположный при транспонировании матрицы?

11. Можно ли вычислить миноры, дополнительные к элементам неквадратной матрицы?

12. Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки переставить следующим образом: первую – на место второй, вторую – на место третьей, третью – на место первой?

13. Если матрица А не квадратная, может ли существовать такая матрица В, что: В*А=Е? А*В=Е?

14. Верно ли, что матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А?

15. Может ли матричное уравнение А*Х=В иметь:

- одно решение?

- два решения?

- 17 решений?

- ни одного решения?

16. Равносильны ли уравнения:

А) А*Х=В и Х=А-1*В?

Б) А*Х=В и Х=В*А-1?

В) А*Х=В и Х=А*В-1?

Г) А*Х=В и Х=В-1*А?

Задания для практического занятия:

1. Определите размерность матриц:

А=(2 0 4 -1 1 -2 0); В=.

2. Определите вид матриц:

.

3. Найти линейные комбинации заданных матриц:

А) 4А-5В, ;

Б) 3А+4В, ;

В) 5А-3В+2С, .

4. Найти произведение матриц АВ и ВА (если они существуют):

А) ; Б) ;

В) .

5. Найти произведение матриц (АВ)С и А(ВС):

А) ;

Б) .

6. Найти значение матричного многочлена f(A):

А) f(x)=3x3+x2+2, ;

Б) f(x)=2x3-3x2+5, ;

В) f(x)=3x2-5x+2, .

7. Проверить, коммутируют ли матрицы А и В:

А) ; Б).

8. Найти транспонированную матрицу:

.

9. Вычислить произведения ААТ и АТА при заданной матрице А:

.

10. Верно ли равенства ВТ+С=(В+СТ)Т; (С*Д)Т=ДТ*СТ; А*Д=(ДТ*АТ)Т:

А) ;

Б) .

11. Вычислитель определители второго порядка:

.

12. Решить уравнения:

.

13. Вычислить определитель 3-го порядка:

.

14. Вычислить определители 3-го порядка разложением по какой-нибудь строке или столбцу:

.

15. Найти матрицу, обратную к данной:

.

16. Решить матричное уравнение:

А) ; Б) ; В).

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия необходимо применить. Какие операции необходимо выполнить над матрицами?

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул для матриц.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- точно и полно перечислены основные понятия, операции над матрицами;

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул над матрицами;

- доступность и наглядность информации при выполнении операций над матрицами;

-правильно выполнены действия над матрицами;

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.1. Овладение знаниями об основах линейной алгебры

Название практической работы № 5-10. Решение систем линейных уравнений.

Учебная цель: формировать умение решать основные типы систем линейных уравнений методами: обратной матрицы, Крамера, Гаусса.

Учебные задачи:

1.  Научиться решать системы линейных уравнений;

2.  Уметь применять различные методы для решения систем линейных уравнений.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- решать системы линейных уравнений;

знать:

- основы линейной алгебры;

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Исследовать системы линейных уравнений методами обратной матрицы, Крамера, Гаусса.

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 576 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы