Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 12 )

Расстояние от точки до плоскости

Поставим следующую задачу:

Найти расстояние d от точки P(x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .

Решение: фиксируем некоторую точку M(x1, y1, z1), , принадлежащую плоскости, и построим вектор MP (рис. 1).

Искомое расстояние d равно абсолютной величине проекции вектора MP на нормальный вектор плоскости. Получаем:

В нашем случае: = {A, B, C} и = {x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1} .

По формуле (1) имеем:

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(x, y,z) перпендикулярно вектору n(A, B,C).

2. Общее уравнение плоскости.

3. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

4. Запишите уравнение плоскости в отрезках.

5. Сформулируйте условие параллельности плоскостей.

6. Сформулируйте условие перпендикулярности плоскостей.

7. Как найти угол между плоскостями?

8. Как найти расстояние от точки до плоскости?

Задания для практического занятия:

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(5;-1;2) перпендикулярно к прямой

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

М1(2;-3;2), М2(4;-1;3), М3(0;3;4).

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0(3;4;-1) и данную прямую

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через две пересекающие прямые и

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(4;-1;3) и перпендикулярную к двум заданным плоскостям x-3y+2z-1=0 и 5x+2y-z+4=0.

7. Найти угол между плоскостями: а) 3x-4y+z+8=0, x+y+z-11=0;

б) 2x-3y+4z+7=0, 3x+2y-5z-9=0.

8. Найти расстояние между параллельными плоскостями 2x-3y+6z-8=0 и

2x-3y+6z+6=0.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-3;-2) параллельно плоскости 3x-2y+4z-3=0.

10. Найти расстояние от точки М0(5;4;-1) до плоскости, проходящей через точки М1(0;4;0), М2(0;4;-3), М3(3;0;3).

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить для составления уравнения плоскостей.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул для уравнений плоскостей;

- доступность и наглядность информации при нахождении уравнений плоскостей;

- использование технических средств для осуществления расчетов;

- правильное решение задач при использовании уравнений плоскостей.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.2. Овладение знаниями об основах аналитической геометрии

Название практической работы № 19-22. Решение задач, используя уравнения прямых на плоскости.

Учебная цель: формировать умение решать основные типы задач по составлению уравнений прямых на плоскости.

Учебные задачи:

1.  Научиться выполнять задачи по составлению уравнений прямых на плоскости.

2.  Уметь рассчитывать задачи, используя уравнения прямых на плоскости.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- решать задачи, используя уравнения прямых на плоскости;

знать:

- основы аналитической геометрии;

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Решить задачи на составление уравнения прямых на плоскости.

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 576 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы

Прямая линия в пространстве

Общие уравнения прямой в пространстве

Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т. е. описывается системой двух уравнений.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

A1x+B1y+C1z+D1=0 и А2 x+B2y+C2z+D2=0 (1), при условии, что эти плоскости непараллельны, т. е. их нормальные векторы = {A1, B1, C1} и = {A2, B2, C2} неколлинеарны. Эта система уравнений (1) называется общими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические и параметрические уравнения прямой

Поставим следующую задачу:

Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку M(x0, y0, z0) параллельно данному вектору = {l, m, n} (вектор называется направляющим вектором прямой).

Решение. Пусть N(x, y, z) - произвольная точка пространства.

Построим вектор MN = {x − x0, y − y0, z − z0} (рис.).

Очевидно, что точка N принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору = {l, m, n} , т. е. когда их координаты пропорциональны:

(2)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Если в (2) ввести параметр t

, то уравнения прямой можно записать в виде:

x = x0+lt= y0+mt = z0+nt. (3)

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой.

Векторно-параметрическое уравнение прямой

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор.

В координатах (параметрические уравнения):

Канонические уравнения прямой

Уравнения прямой по двум точкам

Прямая как линия пересечения двух плоскостей при условии, что не имеют места равенства

Направляющий вектор такой прямой

где

Взаимное расположение двух прямых

Если прямые заданы уравнениями и то они:

1) параллельны (но не совпадают)

2) совпадают

3) пересекаются

4) скрещиваются

Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( - знак отрицания условия):