Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 42 )

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Площадь фигуры находим по формуле :

(кв. ед.).

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .

Решение. Сделаем чертеж. Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему Получим , . Следовательно:

;

.

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна

(кв. ед.).

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1.  Что такое криволинейная трапеция?

2.  Формула Ньютона-Лейбница

3.  Графики элементарных функций.

Задания для практического занятия:

Задание: Вычислить площади фигур с помощью определенного интеграла (номер варианта совпадает с номером студента по списку)

1.1 и осью ох 1.2 , у = 0, х = 0 1.3 и осью ох 1.4 1.5 и осью ох 1.6,,х = −1, х = 0 1.7 и осью ох 1.8 и 1.9 и осью ох 1.10 y = 6x ­­­­­­­­−3x2 и осью ох

2.1 и 2.2 y = x 2 и 2.3 и 2.4 , , x = 0, x =2 2.5 , x =e, y =0 2.6 , x =1, y = x – 2.7 , , x = 0 , x = 1 2.8 , x = 2 2.9 , x = 0, x = 2π, y = 0 2.10 y = , y = 2, x = 0

3.1 y = x − y + 3, x + y −1= 0, y = 0 3.2 2x − 3y + 6 = 0, y =0 и x = 3 3.3 и y = 3x −1 3.4 x − y +2 = 0, y =0, x = −1, x = 2 3.5 y 2 = 4x, x = 1 и осью ох 3.6 и y = −3x 3.7 x − y +3 =0 , x + y −1= 0, y = 0 3.8 x 2 = 3y и y = x 3.9 x 2 + y 2 = 9 3.10

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить к данной задаче.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул интегрального исчисления;

- использование технических средств для осуществления расчетов;

- использование чертежа для наглядного представления информации площадей плоских фигур;

- правильное решение задач интегрального исчисления.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.4. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Название практической работы № 65, 66. Применение методов интегрального исчисления при вычислении объёмов пространственных фигур, длин дуги кривой.

Учебная цель: формировать умение по применению определенного интеграла к вычислению объёмов пространственных фигур, длин дуги кривой.

Учебные задачи:

1.  Научиться вычислять объёмы пространственных фигур, длин дуги кривой используя методы интегрального исчисления.

2.  Уметь применить методы интегрального исчисления для вычисления объёмов пространственных фигур, длин дуги кривой.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

знать:

- основы математического анализа;

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Решить задачи на применение методов интегрального исчисления при вычислении объёмов пространственных фигур, длин дуги кривой и построении графиков

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 576 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой, линейка.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы:

Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 1).

Рис. 1

Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b] - гладкая (т. е. производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле:

Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ), α ≤ θ ≤ β, то длина дуги равна: