Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 41 )

  3.2  3.12 3.22

  3.3  3.13 3.23

  3.4  3.14 3.24

  3.5  3.15 3.25

  3.6  3.16 3.26

  3.7  3.17 3.27

  3.8  3.18 3.28

  3.9  3.19 3.29

3.10  3.20 3.30

Задание 3.2. Вычисление определенного интеграла методом по частям (номер варианта совпадает с номером студента по списку)

  3.1 

  3.2 

  3.3 

  3.4 

  3.5 

  3.6 

  3.7 

  3.8 

  3.9 

3.10 

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить к данной задаче.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул интегрального исчисления;

- использование технических средств для осуществления расчетов;

- правильное решение задач интегрального исчисления.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.4. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Название практической работы № 61-64. Применение методов интегрального исчисления при вычислении площадей фигур.

Учебная цель: формировать умение по применению определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Учебные задачи:

1.  Научиться вычислять площади плоских фигур используя методы интегрального исчисления.

2.  Уметь применить методы интегрального исчисления для вычисления площадей плоских фигур.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

знать:

- основы математического анализа;

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Решить задачи на применение методов дифференциального исчисления при вычислении площади фигуры и построении графиков.

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 576 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой, линейка.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы:

Геометрическое приложение определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)[f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой: где t1 и t2 определяются из уравнений a=x(t1), b=x(t2) [y(t) ≥ 0 при t1 ≤ t ≤ t2].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

у = - х2 - 2х + 3 и прямыми х = 0, х = 2, у = 0.

Решение. Так как на отрезке [0, 2] функция f(x) = - х2- 2х + 3 меняет знак, а именно f(x) ³ 0 на отрезке [0, 1] и f(x) £ 0 на отрезке [1, 2], то искомую площадь можно вычислить по формуле.

Тогда

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее. Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений