Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 18 )

7.23. 7.24.

7.25. 7.26.

7.27. 7.28.

7.29. 7.30.

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить к данной задаче.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул для вычисления пределов функций;

- доступность и наглядность информации при нахождении пределов функций;

- использование технических средств для осуществления расчетов;

- правильное решение задач при использовании основных теорем о пределах, первого и второго замечательных пределов.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.3. Овладение знаниями об основах математического анализа

Название практической работы № 33, 34. Решение задач на использование предела функции (приёмы раскрытия неопределённости ,).

Учебная цель: формировать умение в вычислении пределов, раскрытии неопределенностей.

Учебные задачи:

1.  Научиться раскрывать неопределенности при вычислении пределов функций.

2.  Уметь применять приёмы раскрытия неопределённости в пределах

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

знать:

- основы математического анализа.

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Решить задачи на вычисление пределов функции.

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 576 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы:

Примеры вычисления пределов

Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.

1. Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения

Пример.

.

2. Если аргумент стремится к ¥ или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождения предела функции требует специального исследования.

Более сложные случаи нахождения предела функции рассмотрим далее каждый в отдельности.

3. Если при х ® а или х ® ¥ функция f(x) представляет отношение двух бесконечно больших функций .

Пример.

Чтобы вычислить такие пределы, числитель и знаменатель дроби нужно разделить на старшую степень переменной х (в примерах х3 и х соответственно, т. к. при х ® ¥ величины 1/х3,1/х являются бесконечно малыми). После чего легко получаем результат.

Замечание. Если в числителе и знаменателе стоят многочлены одной степени, то предел такой дроби при х ® ¥ равен отношению коэффициентов при старших степенях.

4. При х ® а или х ® ¥ функция f(x) представляет отношение двух бесконечно малых функций . Если необходимо вычислить предел дроби, числитель и знаменатель которой - многочлены, обращающиеся в нуль в предельной точке х = а, то оба многочлена нужно разложить на простые множители и сократить на (х - а), а затем вычислить предел.

Пример.

1) .

Сравнение бесконечно малых. Принцип эквивалентности

Бесконечно малые при х ® а функции a(х) и b(х) сравниваются между собой:

1)  Если то a есть бесконечно малая высшего порядка, чем b.

2)  Если то a есть бесконечно малая низшего порядка, чем b.

3)  Если то a есть бесконечно малая того же порядка, чем b.

4)  Если то a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. (Обозначают a ~ b.)

5)  Если a ~ b и существует то существует .

Пример. Вычислить предел функции

Решение. Используя свойство 5 и эквивалентность arcsinx ~ sinx ~ x при x ® 0, получаем

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1.  Дайте определения предела функции в точке.

2.  Какие типы неопределенностей вам известны?

3.  Как избавиться от неопределенности ?

4.  Чему равно значение предела функции при неопределенности ?

5.  Чему равно значение предела функции при неопределенности ?

Задания для практического занятия:

1. Задание: Найти указанные пределы (номер варианта совпадает с номером студента по списку).

1.1.  1.2.

1.3.  1.4.

1.5.  1.6.

1.7.  1.8.

1.9.  1.10.

1.11.  1.12.

1.13.  1.14.

1.15. 1.16.

1.17. 1.18.