Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 16 )

- предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела:

Þ к = 1,2,3,…

Предел корня к-ой степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:

к = 2,3,4,… Þ

Пределы и неравенства

Пусть все члены данной сходящейся последовательности неотрицательны. Тогда ее предел также неотрицателен:

xn ³ 0 "n Þ a ³ 0.

Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последовательности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пределу второй последовательности:

, xn ³ yn "n Þ a ³ b.

Пусть соответствующие члены трех данных последовательностей {xn}, {yn} и {zn} удовлетворяют условию xn £yn £zn.

Тогда если последовательности {xn} и {zn} сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность {yn} также сходится к этому пределу:

xn £yn £zn, "n, Þ

Число е

Последовательность возрастает и ограничена сверху, а поэтому сходится. Ее пределом является замечательное иррациональное число е=2,71828182845…, служащее основанием натуральных логарифмов.

Таким образом,

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1.  Дайте определения предела последовательности.

2.  Сформулировать свойства пределов последовательности.

3.  Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности.

4.  Сформулируйте свойства бесконечно малой и бесконечно большой последовательности.

Задания для практического занятия:

Задание 1. Используя определение предела, доказать что:

а) ; б) ; в)

Задание 2. Найти пределы последовательностей:

а) ; б) ; в) ; г)

д) ; е) ; ж)

з) ; и) ; к)

Задание 3. Используя определение, доказать, что данные последовательности – бесконечно малые:

а) ; б) ; в)

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить к данной задаче.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул для вычисления пределов последовательностей;

- доступность и наглядность информации при нахождении пределов последовательностей;

- использование технических средств для осуществления расчетов;

- правильное решение задач по вычислению пределов последовательностей.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.3. Овладение знаниями об основах математического анализа

Название практической работы № 31, 32. Решение задач на использование предела функции (основные теоремы о пределах, первый и второй замечательные пределы).

Учебная цель: формировать умение по вычислению пределов, сводящихся к замечательным пределам.

Учебные задачи:

1.  Научиться вычислять пределы функций.

2.  Уметь рассчитывать пределы функций с использованием основных теорем о пределах, первого и второго замечательных пределов.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

знать:

- основы математического анализа.

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Решить задачи на вычисление пределов функций с использованием основных теорем о пределах, первого и второго замечательных пределов

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 576 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы:

Предел функции одой переменной

Определение предела

Окрестностью точки x0 называется любой интервал с центром в точке x0. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 кроме самой точки x0.

Число А называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число d>0 (вообще говоря, зависящее от e), что для всех x таких, что <d, xx0, выполняется неравенство <e.

Обозначается это так: или f(x)→A (при х→х0).

Операции над пределами

Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и, кроме того, . Тогда:

. ( ) .

. . (В¹0).

Предел функции на бесконечности

Число А называется пределом функции f(x) при x, если при любом значении e>0 найдется такое число М>0, что для всех значений х>М выполняется неравенство <e.

Обозначение:

Аналогично определяется предел функции f(x) при х

Обозначение:

Односторонние пределы

Число А называется пределом функции f(x) слева в точке х0, если для любого числа e>0 существует число d>0 такое, что при х(х0-d;х0), выполняется неравенство <e. Предел слева записывается так: или коротко: f(x0-0)=A.

Аналогично определяется предел функции справа, обозначаемый или f(x0+0). Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел