Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 28 )

Условия монотонности функции

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f¢(x) > 0 (f¢(x) < 0) x Î (a;b), то f(x) возрастает (соответственно убывает) на этом интервале.

Если же f¢(x) ³ 0 (f¢(x) £ 0) x Î (a;b), то функция f(x) не убывает (соответственно, не возрастает) на интервале (a;b), т. е. x1, x2 Î (a;b) из х1<х2 следует f(x1) £ f(x2) (соответственно, f(x1) ³f(x2)).

Экстремум функции

Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если существует интервал, содержащий точку х0, такой, что для всех х из этого интервала имеет место неравенство f(x0) ³ f(x), (f(x0) £ f(x)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума: в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f¢(x)=0), либо не существует.

Первое достаточное условие экстремума: если в точке х0 функция y=f(x) непрерывна, а производная f¢(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 - точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «-», и минимума, если с «-» на «+».

Если при переходе через точку х0 производная не меняет знак, то в точке х0 экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума: если в точке х0 f¢(x0) = 0, а f¢¢(x0)>0, то х0 является точкой максимума функции. Если f¢(x0) = 0, а f¢¢(x0)<0 , то х0 является точкой минимума функции.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Функция y = f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если для любых двух значений х1, х2 из этого промежутка выполняется неравенство:

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

Если вторая производная f¢¢(x) функции y = f(x) положительна (отрицательна) на промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.

Если х0 - точка перегиба функции y = f(x) и f¢¢(x0) существует, то f¢¢(x0) = 0.

Если 2-ая производная f¢¢(x) меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 является точкой перегиба функции y = f(x).

Асимптоты

1. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от точки (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая х =х0 является вертикальной асимптотой графика функции y=(x), если хотя бы один из пределов (правосторонний или левосторонний) равен ±¥.

. Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если

. Если и то прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x).

Общая схема исследования функций и построения графиков

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность - нечетность;

) найти вертикальные асимптоты;

4) исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6) найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба;

7) найти точки пересечения графика функции с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Пример. Провести полное исследование функции и построить график

.

1) Область определения функции x + 1 ¹ 0 или x ¹ - 1. Значит, функция существует при всех значениях x кроме x = -1, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, т. е. x Î (-¥, -1) È (-1, +¥).

2)  Точки пересечения с осями координат у (0)=,

следовательно, линия пересекает оси в точке (0, 0).

3) Четность или нечетность: .

Следовательно, заданная функция свойством четности не обладает, т. е. является функцией общего вида.

4) Периодичность: определяем только для тригонометрических функций.

5) Промежутки возрастания и убывания функции: находим первую производную

Определим критические точки, для этого решаем уравнение у¢ = 0 или

х2(х + 3) = 0; х1 = 0, х2 = -3.

Используя метод интервалов, определим промежутки монотонности

-3 -1 х

 

Функция возрастает на промежутке х Î (-¥,-3] È [-1, ¥) и убывает при

х Î [-3, -1).

6) Так как производная функции меняет знак с “+” на “-” в точке х = -3, то функция имеет max в этой точке и уmax = y(-3) = -27/8. Точка х = -1 является точкой разрыва функции и не входит в область ее определения. Поэтому, несмотря на то, что производная в этой точке меняет знак с “-” на “+ экстремума здесь нет.

7) Интервалы вогнутости, выпуклости. Найдем вторую производную функции и решим уравнение у¢¢ = 0. Несложно показать, что

Приравнивая числитель к нулю, получаем: х = 0. Критическая точка х = 0 разбивает область определения]-¥, -1[È]-1, +¥[на интервалы:]-¥, -1[È]-1, 0[È]0, +¥[.

-1 0 х

 

Таким образом, на интервалах]-¥, -1[È]-1, 0[функция выпуклая, на интервале]0, +¥[- вогнутая.

8) Асимптоты:

а) горизонтальная асимптота определяется с помощью предела

.

Так как предел равен ± ¥, то горизонтальной асимптоты нет.

б) вертикальную асимптоту можно определить из области определения функции. Так как точка х = -1 является точкой разрыва, то прямая х = -1 есть вертикальная асимптота. Найдем лево - и правосторонние пределы

.

в) уравнение наклонной асимптоты ищем в виде у = kх + b, где

Тогда, прямая - наклонная асимптота.

9) Строим чертеж

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1.  Признаки возрастания и убывания функции.

2.  Алгоритм исследования функции на промежутки монотонности.

3.  Определения точек максимума и минимума функции.

4.  Необходимое и достаточное условие существования экстремума.

5.  Сформулируйте алгоритм нахождения экстремумов функции.

6.  Наибольшее и наименьшее значение функции, алгоритм нахождения.

7.  Что такое точка перегиба?

8.  Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.

9.  Как определяется геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой?

10.  Сформулируйте правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости.

11.  Как отыскиваются экстремумы функций с помощью второй производной?

12.  В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений?

13.  Что такое асимптота?

14.  Виды асимптот

15.  Правила нахождения вертикальных и наклонных асимптот.

16.  Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции?

Задания для практического занятия:

Задание 1. Найдите промежутки монотонности функции (номер варианта совпадает с номером студента по списку):

1.1. 1.16.

1.2. 1.17.

1.3. 1.18.

1.4. 1.19.

1.5. 1.20.

1.6. 1.21.

1.7. 1.22.