Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 7 )

4. ×= 0, если = 0, либо = 0, либо ^ ;

5. ×= ||2 или 2 = ||2 (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

Пусть векторы (x1, y1, z1) и ( x2, y2, z2) заданы своими координатами.

Тогда скалярное произведение этих векторов находится по формуле

×= x1 x2 + y1 y2 + z1 z2,

а косинус угла между ними – по формуле

Пример. Векторы и образуют угол . Найти длину вектора

= 2- 3, если || = 2, || = 1.

Решение. Согласно свойству 5 скалярного произведения, квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату. Найдем скалярный квадрат

||2 = (2- 3)2 = 42 - 12×+ 92 = 4||2 - 12||||cosj + 9||2 =

= 4×22 - 12×2×1×cos+ 9×12 = 16 - 12 + 9 = 13, следовательно, || = .

Пример. Найти внутренний угол в треугольнике с вершинами A(1, 2, -1); B(5, 5, 11); C(13, 18, 20).

Решение: Искомый угол – это угол между векторами = =(4; 3; 12) и

= = (12; 16; 21). По формуле имеем

,

таким образом, .

Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов называется вектор , который обозначается и удовлетворяет следующим трем условиям:

. ,где - угол между векторами ;

.

. Векторы образуют правую тройку, т. е. из конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден против часовой стрелки (рис.1).

Замечание. Это определение однозначно определяет векторное произведение ненулевых векторов. Если хотя бы один из сомножителей - нулевой вектор, то векторное произведение считается равным нулевому вектору.

Из определения векторного произведения следует, что для любого вектора .

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Свойства векторного произведения векторов

Для любых векторов и любых чисел α, β:

. ;

. ;

. ;

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.

// (нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору).

Если заданы координаты перемножаемых векторов, то векторное произведение можно представить в виде:

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов называется число, обозначаемое и определяемое равенством т. е. векторное произведение двух векторов (или, что тоже самое ) умножается скалярно на третий вектор (рис.).

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком «+», если тройка векторов - правая, и со знаком «−», если тройка векторов - левая.

Свойства смешанного произведения векторов

. Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

.

.

. .

Если координаты векторов заданы, то смешанное произведение можно представить в виде:

Разложение вектора по базису - линейные операции в координатной форме

Тройка векторов называется базисом в трехмерном пространстве геометрических векторов V3, если любой вектор V3 может быть единственным образом представлен в виде

где α, β, γ - некоторые числа, называемые координатами вектора в базисе .

Справедливы следующие утверждения:

В трехмерном пространстве V3 любая тройка некомпланарных векторов образует базис.

В двумерном пространстве V2 любая пара неколлинеарных векторов образует базис.