Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 2 )

1.1. Матрицы и действия над ними

Система элементов (чисел, функций) расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, называется прямоугольной матрицей размерности m x n:

А=,

где aij –элементы матрицы (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2, …, n). Сокращенная запись матрицы: A = (aij)m´n.

Если m = n, то матрица называется квадратной. В этом случае число m = n называют ее порядком. В квадратной матрице n-го порядка диагональ, состоящая из элементов a11, a22 ,…, ann называется главной диагональю.

Если в квадратной матрице все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю, то такая матрица называется единичной и обозначается Е.

Например, единичная матрица четвертого порядка имеет вид

Две матрицы A = (aij)m´n и В = (bij)m´n одинаковой размерности называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах этих матриц.

Над матрицами можно выполнять действия: сложение (вычитание), умножение на число, умножение двух матриц, транспонирование.

Суммой (разностью) двух матриц A = (aij)m´n. и В = (bij)m´n. одинаковой размерности называется матрица С, элементы которой определяются равенством сij = aij + bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Обозначение: С=А + В, С = А - В

Произведением матрицы A = (aij) m´n на число к называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число к:

Aк = к(aij)m´n = (кaij) m´n (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Произведением АВ матрицы A = (aij)m´n на матрицу В = (bij)n ´k называется матрица C = (cij)m´k, где элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой стороки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т. е.

cij = (ai1, ai2 , … , ain)(b1j, b2j, … , bnj) = ai1b1j+ ai2b2j+… + ainbnj.

(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Матрица, полученная из матрицы А заменой всех строк соответствующими по номеру столбцами, называется транспонированной по отношению к А и обозначается АТ, т. е.

Пример. Даны матрицы

,

Найти: А + С; 2А.

Решение. Так как при сложении матриц складываются соответствующие элементы, то

А + В = + = .

При умножении матрицы на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Пример. Даны матрицы , .

Найти произведение АВ.

Решение. Размерность матрицы А – (3х4), а матрицы В – (4х2) ,т. е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, следовательно АВ существует. Заметим, что так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А, то В×А не существует.

.

1.2 Определители и их свойства

Определителем n-го порядка (n x 2) называется число, обозначаемое

и равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых равен произведению n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Минором Mik элемента аik, определителя n - го порядка называется определитель (n - 1) - го порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическим дополнением А1j элемента аik, определителя называется число

Аik = (-1)i+kMik,. Определитель n - го порядка (n x 2) вычисляют разложением по элементам первой строки по формуле

где а1i (i = 1, …, n) – элементы первой строки, А1j (i = 1, …, n) - алгебраические дополнения этих элементов.

Если n = 2, то имеем определитель второго порядка

При n = 3 получим определитель 3-го порядка

,

каждый член, которого равен произведению трех элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки; число членов равно n! = 1×2×3 …

6. Определитель 3-го порядка можно вычислить по треугольной схеме (правило Саррюса). Если соединить линией каждые три элемента определителя (по одному из каждой строки и каждого столбца), то получим легко запоминающуюся схему

Пример. Вычислить определитель .

Решение. Вычислим определитель по правилу Саррюса:

Основные свойства определителей

1. При транспонировании определителя его величина не изменяется.

2. Если поменять местами любые две строки или два столбца, то определитель изменит свой знак.

3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4. Определитель равен нулю, если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, или имеются две одинаковые или две пропорциональные строки (столбца).

5. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

Из свойств определителей следует, что все строки и столбцы определителя равноправны. Поэтому определитель n - го порядка можно вычислить разложением по любой строке (столбцу). Используя свойство 5, можно преобразовать определитель так, чтобы в выбранной строке (столбце) все элементы, кроме одного, были равны нулю. Тогда вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению единственного определителя (n - 1)-го порядка. Покажем это на примере.

Пример. Вычислить определитель

Решение. При получении нулей в строке (столбце) удобно использовать любой элемент аik 1. Разложим определитель Δ = по элементам второй строки (здесь есть элемент а23 = 1). Обратим элементы а21, а22, а24, в нули. Для этого все элементы 3-го столбца умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам 1-го столбца, затем умножим 3-й столбец на

(-1) и прибавим ко 2-му, умножив 3- й столбец на (-2), прибавим его к 4-ому.

Матрица, обратная данной

Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если А-1А = А А-1 = Е, где Е - единичная матрица.

Для любой квадратной матрицы А, определитель которой отличен от нуля, существует единственная обратная матрица, которую находят по формуле

А-1 =, где Аik – алгебраические дополнения элементов аik, detА - определитель исходной матрицы А.

Пример. Выяснить, существует ли матрица, обратная данной

и если существует, найти ее. Сделать проверку.

Решение. Найдем определитель матрицы А.

12≠0, то существует обратная матрица А -1. Поскольку detА -1. Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента А.

А11 = (-1)1+1 А12 = (-1)1+2

А13 = (-1)1+3 А21 = (-1)2+1

А22 = (-1)2+2 А23 = (-1)2+3

А31 = (-1)3+1 А32 = (-1)3+2