Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 4 )

по теме практической работы

1.3 Системы линейных уравнений

Общий вид системы

или в матричной форме: АХ = В, где

, ,

Расширенная матрица системы имеет вид:

Согласно теореме Кронекера-Капелли, для того, чтобы система уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы r(A) = r(A).

При этом если r(A) = r(`A) = n. где n – число неизвестных, то система имеет единственное решение; если r(A) = r(`A) < n, то система имеет бесчисленное множество решений; если r(A) ¹ r(`A), то система несовместна.

Методы решения систем.

Правило Крамера. Неизвестные х1 ,х2 , ….,хn можно найти по формулам Крамера

,

где Δ - определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, а Δк (к = 1, 2, …, n) – определитель, полученный из Δ заменой k - ого столбца столбцом из свободных членов системы. Система имеет единственное решение, если Δ= 0.

Матричный метод (метод обратной матрицы). Из записи системы уравнений в матричном виде АХ = В следует, что Х = А-1В. Суть метода заключается в нахождении обратной матрицы А-1 и умножении ее на столбец из свободных членов В. Используется для систем уравнений, у которых m = n и detA =0.

Метод Гаусса. Это метод последовательного исключения неизвестных. Суть метода: с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы, матрица`А приводится к трапецеидальной форме. Этой матрице ставится в соответствие система, эквивалентная исходной. Решение ее осуществляется снизу вверх (обратный ход метода Гаусса).

Метод Жордана-Гаусса (модификация метода Гаусса). Для упрощения нахождения решений расширенную матрицу данной системы приводят к диагональному виду, исключая неизвестные не только из последующих уравнений, но и из предыдущих.

Пример. Решить систему уравнений тремя способами:

1)  методом Крамера;

2)  матричным способом;

3)  методом Гаусса.

.

1)  Решение системы методом Крамера.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных

Δ=

Т. к. Δ = ΔА = -34 0, то существует единственное решение системы. Найдем определители Δ1, Δ2, Δ3, заменяя в определителе Δ соответствующий столбец столбцом из свободных членов.

,

Согласно формулам Крамера:

2)  Решение системы матричным способом:

Из матричного уравнения следует, что Х = А-1В. Выше было показано, что Δ = ΔА= -34 0. Т. к. Δ 0, то обратная матрица А-1 существует. Найдем алгебраические дополнения:

Отсюда

Значит, х1 = 1, х2 = -1, х3 = 4.

3). Решение системы методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к трапецеидальной форме с помощью элементарных преобразований матрицы, выполняемых над строками:

Ставим в соответствие этой расширенной матрице систему, эквивалентную исходной и находим ее решение

Таким образом, решение системы: х1 = 1, х2 = -1, х3 = 4.

Для проверки правильности решения подставим полученные значения х1, х2, х3 в исходную систему.

Система решена, верно.

Ответ: х1 = 1, х2 = -1, х3 = 4.

3а) Решение системы методом Жордана-Гаусса. Для упрощения нахождения решений системы расширенную матрицу приводят к диагональному виду, исключая неизвестные не только из предыдущих уравнений, но и из последующих.

Таким образом, решение системы: х1 = 1, х2 = -1, х3 = -4.

Пример. Исследовать совместность системы и в случае совместности найти общее решение и частное решение

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и будем выполнять элементарные преобразования ее строк

,

r(A) = r(`A) = 2 < n = 4, где n - число неизвестных. Т. к. r(A) = r(`A), то система совместна, а т. к. ранг меньше числа неизвестных, то система неопределенна. Минор , значит, его можно принять в качестве базисного минора. Тогда неизвестные, коэффициенты которых входят в этот минор, являются базисными. Таким образом, х3 и х4 – базисные неизвестные, а х1, х2 – свободные.

Запишем систему уравнений, соответствующую преобразованной расширенной матрице:

Выразим базисные неизвестные х3 и х4 через свободные х1 и х2

.

Получаем общее решение

.

Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, например

х1 = 1, х2 = -2, получим: х3 = -52/9, х4 = -22/3.

Тогда частное решение системы - (1,-2,-52/9, -22/3).

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы?

2. Из несовместной системы линейных уравнений удалили какое-то одно уравнение. Будет ли полученная система совместной?

3. Множества решений двух систем линейных уравнений совпадают. Равны ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли ранги этих матриц7

4. Может ли частное решение системы линейных уравнений совпадать с ее общим решением?

5. Может ли множество решений системы линейных уравнений состоять ровно из одного решения? Из двух решений? Из 17-ти решений?

6. Как выглядят решения совместной системы линейных уравнений, если все столбцы расширенной матрицы, кроме первого пропорциональны?

7. Могут ли различные методы решения системы линейных уравнений (метод Крамера и метод обратной матрицы) дать различные ответы?

8. Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение с помощью метода Гаусса, но не имела решения по формулам Крамера?

9. Совместная система n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме: АХ=В. Будут ли решениями системы оба набора из n чисел: А-1В и ВТА-1?

10. В системе n линейных уравнений с n неизвестными поменяли местами два уравнения. Изменятся ли формы записи решения с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера? Изменится ли общее решение?

Задания для практического занятия:

1. Решить системы линейных уравнений: методом обратной матрицы; по формулам Крамера; методом Гаусса (номер варианта совпадает с номером студента по списку)