Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 45 )

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- полно, точно, аргументировано, приведены методы решения уравнений;

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул при решении дифференциальных уравнений;

- правильное обоснование решение дифференциальных уравнений.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.4. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Название практической работы № 70-73. Решение дифференциальных уравнений (однородных, линейных первого порядка).

Учебная цель: формировать умение по решению дифференциальных уравнений однородных, линейных первого порядка.

Учебные задачи:

1.  Научиться решать дифференциальные уравнения однородные, линейные первого порядка.

2.  Уметь применить методы дифференциального и интегрального исчисления для решения дифференциальных уравнений.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

- решать дифференциальные уравнения;

знать:

- основы математического анализа;

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Решить дифференциальные уравнения с применением методов дифференциального и интегрального исчисления.

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 2 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 592 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой, линейка.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным называется дифференциальное уравнение линейное относительно у и у¢, т. е. его вид у¢+Р(х)у=Q(x), где Q(x) и Р(х)- непрерывные по х функции.

Если Q(x) º 0, то уравнение у¢ + Р(х)у = 0 называется однородным, если Q(x) ¹ 0, то уравнение – неоднородное.

Однородные линейные уравнения являются одновременно уравнения с разделяющимися переменными, а неоднородные решают с помощью замены .

Пример. Найти частное решение уравнения ху¢ + у = 1/(1 + х), при х0 = 1, у0 = ln2.

Решение. Разделим обе части равенства на х.

у¢+у =, т. е. Р(х) = 1/х и Q(x) =. Следовательно, замена имеет вид y = ue-lnx = u/x. Тогда у¢=-. Подставив в исходное уравнение, получим

или после упрощения u¢=,

Общее решение исходного уравнения имеет вид .

Найдем константу С: ln2 = ln|1 + 1| + C, т. е. С = 0. Подставим начальные условия в общее решение, тогда частное решение

В некоторых случаях, если точное решение дифференциального уравнения громоздко или трудноопределимо, можно найти приближенное решение, используя ряды Тейлора или Маклорена. Проиллюстрируем применение этого метода на примере.

Пример. Найти три ненулевых члена разложения в ряд частного решения уравнения ху¢ + у = 1/(1 + х), х0 = 1, у0 = ln2.

Решение. Поскольку х0 = 1, то полученное разложение будет разложением в ряд Тейлора по степеням (х - х0), для данного случая – (х - 1).

.

Запишем уравнение в приведенной форме у¢ = - . Подставив начальные условия, находим

.

По определению у¢¢ = (у¢)¢ = и, используя известные значения х0, у0, у¢0 получаем у¢¢0 = -3/4 - ½ + 2ln2 = -5/4 + 2ln2. Отсюда

у = ln2 + (- ln2)(х - 1) + (2ln2 - )+…

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1.  Какое уравнение называется дифференциальным уравнением.

2.  Что называется решением дифференциального уравнения.

3.  Общее решение дифференциального уравнения.

4.  Каков общий вид однородного дифференциального уравнения 1-го порядка?

5.  Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения первого порядка.

6.  Каков общий вид линейного дифференциального уравнения 1-го порядка?

7.  Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Задания для практического занятия:

Задание 1. Решить однородное дифференциальное уравнение (номер варианта совпадает с номером студента по списку)

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

Задание 2. Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (номер варианта совпадает с номером студента по списку)

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

Задание 3. Решить линейное дифференциальное уравнение 1 порядка (номер варианта совпадает с номером студента по списку)

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Задание 4. Решить уравнения в полных дифференциалах (номер варианта совпадает с номером студента по списку)

1.

2.

3.

4.

5.

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.