Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 25 )

3) Пусть у = arcsinln(x+ 2x + 1). Применяя правило дифференцирования сложной функции и суммы, получим

Геометрический смысл производной

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х0. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М0(х0;у0), уравнение которой имеет вид у-у0=f¢(x0)(x-x0).

При этом f¢(x0)=tga, где a-угол наклона этой касательной к оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение

Производная неявной функции

Пусть функция y=y(x), обладающая производной в точке х, задана неявно уравнением F(x, y)=0.

Тогда производную y¢(x) этой функции можно найти, продифференцировав это уравнение (при этом у считается функцией от х), и разрешая затем полученное уравнение относительно у¢.

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1.  Дайте определение производной функции.

2.  Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции?

3.  Как вычислить частное значение производной?

4.  Можно ли вычислить производную любой функции, пользуясь определением производной?

5.  Производная произведения и частного.

6.  Правила дифференцирования.

7.  Производные элементарных функций.

8.  Правило нахождения производной сложной функции.

9.  Какая функция называется, заданной неявно?

10.  Алгоритм дифференцирования функции, заданной неявно.

11.  Как находится производная функции заданной параметрически?

12.  В чем смысл логарифмического дифференцирования?

Сформулировать правила дифференцирования и записать производные основных элементарных функций:

Сформулировать и записать производные основных элементарных функций: 1. 2. В частности, 3. 4. В частности, 5. В частности, 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Сформулировать правила дифференцирования 1. 2. 3. 4. 5. В частности, Производная сложной функции

Задания для практического занятия:

Задание 1. Продифференцировать данные функции (номер варианта совпадает с номером студента по списку).

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15. 1.16.

1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

1.21. 1.22.

1.23. 1.24.

1.25. 1.26.

1.27. 1.28.

1.29. 1.30.

Задание 2. Найти производные функций. а – порядковый номер в журнале

а) ; б) ; ;

Задание 3. Найти производные функции. а – порядковый номер в журнале ;

;

;

;

Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную неявно (номер варианта совпадает с номером студента по списку):