Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 44 )

2.  Уметь применить методы дифференциального и интегрального исчисления для решения дифференциальных уравнений.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

- решать дифференциальные уравнения;

знать:

- основы математического анализа;

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Решить задачи на применение методов интегрального исчисления при вычислении объёмов пространственных фигур, длин дуги кривой и построении графиков

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 2 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 592 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой, линейка.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы:

Обыкновенные дифференциальные уравнения, их виды и методы решения

Дифференциальные уравнения

При проведении научных исследований не всегда можно установить непосредственно характер зависимости между переменными х и у, но можно определить зависимость между х и у, у¢,…,у(n).

Уравнение вида F(x, y, у¢, …, у(n)) = 0, связывающее независимую переменную х с искомой функцией у и ее производными у¢, …, у(n), называются дифференциальными.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, у¢ = 2x - дифференциальное уравнение первого порядка; y¢¢ + у¢ - x = 0 - дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция j(x), которая удовлетворяет данному уравнению, т. е. при подстановке y, у¢ = j¢(x), …, y(n) = j(n) уравнение превращается в тождество.

Методы решения дифференциальных уравнений тесно связаны с порядком уравнения и видом зависимости между переменными.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F(x, y, y¢) = 0.

Если его разрешить относительно y¢, то можно найти приведенную форму дифференциального уравнения первого порядка y¢ = f(x, y).

Например, решением уравнения y¢ = 2x является функция у = х2, но его решениями также будут функции у = х2-3, у = х2+и т. д., т. е, все возможные решения этого уравнения имеют вид у = х2+С, где С – произвольная постоянная.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = j(x, С), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом значении константы С. Если в процессе решения дифференциального уравнения получаем соотношение вида Ф(х, у, С) = 0, т. е. неявное задание функции у, то его называют общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция у = j(х, С0), полученная из общего решения у = j(х, С), если произвольной постоянной С придается конкретное значение С = С0.

Теорема. Если в уравнении y¢ = f(x, y) функции f(x, y) и непрерывны в некоторой области D и точке (х0, у0) Î D, то существует единственное решение этого уравнения у = j(x), такое, что у0 = j(x0).

Условие, вида: у = у0 при х = х0 называется начальным условием (или условием Коши). Если известно общее решение уравнения и начальное условие, то значение С0 является решением уравнения у = j(x0, С).

Дифференциальное уравнение с разделенными и разделяющимися переменными

Если для уравнения вида у¢ = f(x, y), правая часть имеет вид f(x, y) = f1(x)×f2(y), то соответствующее уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными и поскольку , то уравнение можно записать в виде уравнения с разделенными переменными .

Это уравнение можно рассматривать как равенство двух дифференциалов. Вычислив первообразные правой и левой части

, получаем общий интеграл F2(y) = F1(x) + C.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям х0 = 2, у0 = 3.

Решение. Разрешая уравнение относительно у¢, получим

.

Поскольку , т. е. , f2(у) = у, то данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, его можно записать в виде уравнения с разделенными переменными

Проинтегрируем обе части последнего равенства

или ln|y| = ln|1 + x2| + lnC.

Упрощая, имеем y = C(1 + x2) - общее уравнение. Подставив начальное условие, находим 3 = С(1 + 22), С = 3/5. Окончательно, искомое частное решение у = 3(1 + х2)/5.

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1.  Какое уравнение называется дифференциальным уравнением.

2.  Что называется решением дифференциального уравнения.

3.  Общее решение дифференциального уравнения.

4.  Написать общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

5.  Задача Коши.

6.  Каков общий вид однородного дифференциального уравнения 1-го порядка?

7.  Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Задания для практического занятия:

Задание 1. Проверить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции (С – постоянная) (номер варианта совпадает с номером студента по списку)

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Задание 2. Решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделенными переменными (номер варианта совпадает с номером студента по списку)

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Задание 3. Найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (номер варианта совпадает с номером студента по списку)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить к данной задаче.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.