Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 15 )

Заметим, что в канонической системе ось OX является осью симметрии параболы. Следовательно, мы можем ограничиться исследованием функции

(2) при 0 ≤ x< + ∞ , т. е. рассматривать часть параболы, лежащую в первой четверти, а затем полученную кривую отразить симметрично относительно оси OX.

Область определения функции (2): 0 ≤ x< + ∞ , область значений функции(2): 0 ≤ y< + ∞ . Вычислив y' и y'' , легко убедиться в том, что функция (2) в интервале x Î (0, + ∞) возрастает от нуля до + ∞ и ее график является выпуклым вверх. Асимптот у параболы нет. Начало координат (0, 0) -вершина параболы (рис. 1).

Отражая график функции (2) относительно оси OX, получаем искомую параболу (рис. 2).

Прямая x = −p/2 называется директрисой параболы, а точка (p/2, 0) - ее фокусом.

Уравнения y2 = −2px , x2 = 2py и x2 = −2py (p>0) также описывают параболы, ветви которых направлены влево, вверх и вниз, соответственно (рис. 3).

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1.  Запишите каноническое уравнение эллипса.

2.  Запишите каноническое уравнение гиперболы.

3.  Запишите каноническое уравнение параболы.

4.  Что называется эксцентриситетом эллипса?

5.  Запишите уравнения асимптот гиперболы.

Задания для практического занятия:

1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке и данным радиусом: а) S(4;-7), r=5; б) A(-6;3), r=√2; в) D(3;-2), r=3

2. Найти координаты центра и радиус окружности:

а) x2+y2-4x+8y-16=0;

б) 9x2+9y2+42x-54y-95=0.

3. Показать, что уравнение представляет собой уравнение окружности:

а) x2+y2-4x+6y-3=0

б) 3x2+3y2+6x-4y-2=0

4.Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов:

а) 16x2+25y2=400

б) 4x2+9y2=36

в) 16x2+9y2=144

г) 25x2+9y2=900.

5. Показать, что уравнение представляет собой уравнение эллипса. Найти центр, оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и построить эскиз кривой.

а) 5x2+9y2-30x+18y+9=0

б) 9x2+18x+16y2-64y-71=0

в) 9x2+10y2+40y-50=0.

6. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гипербол:

а) 4x2-5y2-100=0

б) 9x2-4y2-144=0

в) 16x2-9y2+144=0

г) 9x2-7y2+252=0.

7. Показать, что уравнение представляет собой уравнение гиперболы. Найти центр, оси, вершины, фокусы, эксцентриситет, асимптоты и построить эскиз кривой.

а) 16x2-9y2-64x-54y-161=0

б) x2-y2+4x-10y-25=0

в) x2-3y2+6y-15=0.

8. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол:

а) y2=8x

б) y2= -12x

в) x2=10y

г) x2= -16y

9. Показать, что уравнение представляет собой уравнение параболы. Найти координаты вершины, фокуса, составить уравнения оси и директрисы, и построить эскиз кривой.

а) y2+2y+4x-11=0

б) 4x2+4x-8y-19=0

в) x2-6x+8y-47=0.

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить к данной задаче.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул для уравнений кривых второго порядка;

- доступность и наглядность информации при нахождении уравнений кривых второго порядка;

- использование технических средств для осуществления расчетов;

- использование чертежа для наглядного представления информации кривой второго порядка;

- правильное решение задач при использовании уравнений кривых второго порядка на плоскости.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.3. Овладение знаниями об основах математического анализа

Название практической работы №29, 30. Выполнение операций над последовательностями (предел последовательности с помощью определения, основные свойства).

Учебная цель: формировать умение в вычислении пределов последовательностей.

Учебные задачи:

1.  Научиться вычислять пределы последовательностей с помощью определения предела последовательности и свойств.

2.  Уметь рассчитывать пределы последовательностей используя определение предела и операции над пределами последовательностей.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

знать:

- основы математического анализа.

Задачи практической работы:

1.  Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.  Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.  Решить задачи на вычисление пределов последовательностей с помощью определения предела последовательности и основных свойств

4.  Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.  Учебно-методическая литература: Лунгу задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 576 с.

2.  Рабочая тетрадь (в клетку) по элементам высшей математики.

3.  Калькулятор.

4.  Ручка.

5.  Карандаш простой.

6.  Тексты задач.

7.  Тетрадь для практических работ в клетку для оформления отчетов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы:

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

Понятие о числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число xn, то говорят, что задана числовая последовательность : x1,x2, …,xn,…. .

Иными словами, числовая последовательность - это функция натурального аргумента: xn=f(n).

Числа x1, x2,…,xn в последовательности называются членами последовательности. При этом число xn называется n-м (энным) или общим членом последовательности. Формулы, позволяющие выразить n-член последовательности через предыдущие члены, называются рекуррентными.

Свойства последовательностей

1.  Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной.

2.  Последовательность {xn} называется неубывающей (невозрастающей), если "n: xn £ xn+1 (соответственно, "n: xn ³ xn+1). Невозрастающие и неубывающие последовательности объединяют общим термином - монотонные последовательности.

3.  Последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей), если "n: xn<xn+1, (соответственно, "n: xn>xn+1). Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим названием - строго монотонные последовательности.

4.  Последовательность {xn} называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М, что все члены последовательности меньше (соответственно, больше), чем М. Последовательность, ограниченная сверху и снизу одновременно, называется ограниченной.

5.  Последовательность {xn} называется неограниченной, если для любого М>0 найдется такой ее член xn, что çxnç>М.

Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа e можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от e), что, начиная с этого номера (т. е. для всех n³N), будет выполнено неравенство çxn - aç < e.

В случае, если последовательность имеет пределом число а, говорят также, что последовательность {xn} сходится к числу а, и обозначается этот факт так: или x n® a при (n®¥).

Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она расходится.

Геометрический смысл предела последовательности состоит в следующем: число а называется пределом последовательности {xn}, если в любом интервале с центром в точке а находятся почти все (т. е. все, кроме конечного числа) члены этой последовательности.

Операции над пределами последовательностей

Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов:

Þ

Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

Þ

В частности:

- постоянный множитель можно выносить за знак предела:

сÎR Þ